高中试卷答案网2022-2023学年上海市金山区高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，其中，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设集合，，均为非空集合，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4. 已知，若关于的方程有且仅有个不同的整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 已知集合，且，则实数的值为 ．
6. 已知角的终边经过点，则______
7. 函数的定义域为______．
8. 将化为有理数指数幂的形式为 ．
9. 已知角是第四象限角，且，则的值为 ．
10. 已知函数，，且是偶函数，则的值为 ．
11. 已知，用表示为 ．
12. 设、为正数，且，则的最小值为 ．
13. 已知常数且，无论取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为 ．
14. 已知集合有且仅有两个子集，则实数 ．
15. 设，，若函数在定义域上满足：是非奇非偶函数；既不是增函数也不是减函数；有最大值，则实数的取值范围是 ．
16. 已知，集合，，若存在正数，对任意，都有，则的所有可能的取值组成的集合为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，．
求集合；
若，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知．
若函数有零点，求实数的取值范围；
若方程有两个实根、，求的最小值．
19. 本小题分
某城市年月日的空气质量指数简称与时间单位：小时的关系满足下图连续曲线，并测得当天的最大值为当时，曲线是二次函数图像的部分；当时，曲线是函数图像的一部分根据规定，空气质量指数的值大于或等于时，空气就属于污染状态．
求当时，函数的表达式；
该城市年月日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．
20. 本小题分
已知．
判断并证明函数的奇偶性；
判断并证明函数在区间上的单调性；
根据函数的性质，画出函数的大致图像．
21. 本小题分
已知函数的定义域为，区间，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由；
已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数的取值范围；
如果函数是定义域为的奇函数，当时，，且函数为上的增长函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，B错误；
项，项中，若，，不等式不成立；
项正确．
故选：．
判断不等式是否成立，要考虑负数和的特殊情况即可判断．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：解不等式得，
当时，一定成立，但是当时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
解不等式得，然后判断充分性和必要性即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，集合的运算，集合包含关系的判断，属于基础题．
举反例判断；对于，由，可得，从而可得．
【解答】
解：对于选项A，若，，，满足，但，故A错误；
对于，若，，，满足，但，故B错误；
对于，由于，已知，所以，则成立，故C正确；
对于，若，，，满足，但是，故D错误．
故本题选C．
4.【答案】
【解析】解：要使方程有且仅有个不同的整数解，当且仅当 且，
即方程等价于且，
即，
即的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解，
函数的图象如图所示：
因为，，，，
所以要使的整数解有且仅有两个解，
则其中一个整数解为和，
即，解得．
故选：．
根据方程有且仅有个不同的整数解，等价于且，将问题转化为的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解求解．
本题考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，
，解得，
故答案为：．
由题意可知，求出的值即可．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为角的终边过点，所以，
故答案为：．
利用任意角的三角函数的定义，求出，即可求解结果．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．
7.【答案】
【解析】解：要使函数有意义，则，
解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
根据对数函数的性质求函数的定义域即可．
本题主要考查函数定义域的求法，比较基础，要求熟练掌握对数函数的性质．
8.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
利用有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为角是第四象限角，且，
所以，
则．
故答案为：．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设，
则由已知可得，且，
则，即，
所以，
故答案为：．
设，然后根据函数的奇偶性的性质建立方程即可求解．
本题考查了二次函数的图象性质，考查了函数的奇偶性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质即可直接求解．
本题主要考查了指数与对数的相互转化及对数的运算性质的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：、为正数，且，
则，
当且仅当，即时取等号．
则的最小值为．
故答案为：．
利用“”的代换求最值即可．
本题考查基本不等式中的“”的代换，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：令，解得，
当时，函数，
即函数图象恒过一个定点．
故答案为：．
由题意令，解得，再代入函数解析式求出的值，进而求解结论．
本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：若恰有两个子集，
所以关于的方程恰有一个实数解，
当时，，满足题意；
当时，，所以，
综上所述，或．
故答案为：或．
结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可．
本题主要考查集合子集的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由可得，解得，
由可得函数的对称轴满足：，且，解得，
综上，实数的范围为且，即为
故答案为：
由可得，由可得函数的对称轴满足：，且，解不等式即可求解．
本题考查了二次函数的图象性质，涉及到不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，则只需考虑下列三种情况：
当时，，，
又，则，，且，
，，解得；
当，即时，与构造方程相同，即，不合题意，舍去；
当，即时，可得且，
，解得．
综上所述，或，
的所有可能的取值组成的集合为．
故答案为：．
根据题意，分，，三种情况讨论，利用集合的包含关系列出不等式组，即可得解．
本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属中档题．
17.【答案】解：由，解得或，
即或；
显然，
若，则或，
解得或，
即实数的取值范围为．
【解析】解分式不等式，即可求出集合；
显然，根据列出不等式，求出的取值范围即可．
本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：由题意可得，解得或，
则实数的范围为；
方程，即为，
则由已知可得，
所以，
又，
则当时，．
【解析】由题意判别式大于等于即可求解；由已知可得，然后化简，根据的范围以及二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的性质，涉及到韦达定理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：当时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，，
可设，，
代入点可得，解得，
故当时，．
由可得：
当时，令，解得，
当时，令，解得，
综上所述：当时，空气属于污染状态．
【解析】根据图象结合二次函数运算求解；
由可得的解析式，分类讨论解不等式即可得结果．
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
20.【答案】解：为偶函数，
证明：，其定义域为，
，故为偶函数；
在上的单调递增，
证明：设，则，
由于，则有，
则函数在上单调递增，
函数的图象如图：
【解析】先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得结论；
根据题意，利用作差法分析可得结论；
根据题意，由的结论，分析可得函数的图象．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，涉及函数的图象，属于基础题．
21.【答案】解：是，理由如下：由题意可得：函数的定义域为，
对，则，
可得，即，
故为区间上的增长函数；
函数的定义域为，
对，则，
若是区间上的增长函数，则，
即，
可得对恒成立，
又因为，
所以，
解得，所以实数的取值范围；
由题意可得：当时，则，
故，
因为为上的增长函数，则对恒成立，
因为在上单调递减，则，不能同在区间内，
所以，
又当时，，当时，，
若时，
令，则，
故，不合题意；
所以，解得，
若，则有：
当时，则成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，即成立；
综上所述：当时，对均有成立，
故实数的取值范围为．
【解析】根据题意分析说明；
根据题意分析可得对恒成立，结合一次函数的性质分析运算；
根据奇函数先求得，结合函数的单调性和符号分析可得，再分类讨论验证其充分性．
本题属于新概念题，考查了奇函数的性质、函数的单调性、逻辑推理能力，理解定义是关键，属于中档题．
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