高中试卷答案网2023年江西省高三教学质量监测卷
文科数学
说明：
1.全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.若实数满足约束条件则的最大值是（ ）
A.-16 B.4 C.12 D.16
4.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知是数列的前项和，且满足首项为，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.函数关于直线对称
C.函数是偶函数
D.关于的方程在区间上所有根的和为0
8.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.2 B. C. D.4
10.定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ）
A.或 B.或0 C.或 D.或0
11.在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某高三年级一共有800人，要从中随机抽取50人参加社团比赛，按系统抽样的方法进行等距抽取.将全体学生进行编号分别为，并按编号分成50组，若第3组抽取的编号为36，则第16组抽取的编号为__________.
14.已知两个向量，则当取得最小值时，__________.
15.已知某公交车发车，为了赶上该公交车小张每次都是在之间到达公交站台，则他连续两天提前到公交站台等待累计时长超过3分钟的概率为__________.
16.已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点（不同于点），则抛物线的焦点的坐标为__________.；若点，则__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图.
（1）根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）；
（2）是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由.
（参考数据：
参考公式：相关系数
在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：）
18.（12分）
在中，内角的对边分别为，已知.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.
（1）求证：平面；
（2）若的面积是，求点到平面的距离.
20.（12分）
已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.
21.（12分）
已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂 多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，且，证明：
（1）；
（2）.
2023年江西省高三文科数学质量监测卷
参考答案
一 选择题
1.【答案】A
【解析】由题意，得，或，所以.
2.【答案】A
【解析】设，由计算可得，，得，则的共轭复数的虚部为.
3.【答案】C
【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以
为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当直线经过平面区域内的点时，取得最大值.
4.【答案】C
【解析】由可知，所以错误；，但无法判定与1的大小，
所以B错误；当时，D错误；可以转变为，由正确.
5.【答案】A
【解析】由得或解得.由
解得，所以“”是“”的充分不必要条件.
6.【答案】D
【解析】由已知可得当时，，所以，即，
且当时，，所以也满足上式，所以，所以.
7.【答案】C
【解析】取，得，所以，
故A正确；因为，则，即，又由
为偶函数，即，所以函数关于直线对称，
故B正确；令，
则，
所以为奇函数，即函数是奇函数，故C错误；
画出函数图象可知，方程所有根的和为0，故D正确.
8.【答案】A
【解析】
，将的图象沿轴向左平移个单位长度，
得关于轴对称，所以即，所以当时，取最小值.
9.【答案】B
【解析】如图所示，该几何体为正方体的一部分，其中四点共面，
所以，故选B.
10.【答案】D
【解析】根据蒙日圆定义，圆方程为，
直线与圆交于两点，联立得，
当点与点重合时，为直角，
11.【答案】A
【解析】因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线组成的图形，也外接于球，且长方体的面对角线长为，体对角线即为三棱锥外接球的直径，
，它外接球半径等于，
所以球的表面积为，
12.【答案】C
【解析】因为，化简得，
构造函数，
即当时，单调递增，
所以由，
即.因为为偶函数且在上单调递增，
所以解得.
二 填空题
13.【答案】244
【解析】800人一共分成50组，每组16人，所以组距为16，系统抽样可以看成是一个组距为16的等差数列，由第三组可得.
14.【答案】
【解析】由题意可得，则，所以，所以.
15.【答案】
【解析】设小张每天等待的时长都在0-5分钟之内，连续两天等待的时长分别为，
则作出不等式组所表示的可行域，如图所示，根据题意可知
16.【答案】（（第一空2分，第二空3分）
【解析】因为点在抛物线上，所以，所以，所以，
所以抛物线方程为.
设，
所以所以.由题意可知，即，
所以，
，所以.因为，所以.
三 解答题
17.解：（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得，
所以.因为近似为0.96，所以与的线性相关程度较高.
（2）由（1）知，与的相关系数近似为0.96，说明与的线性相关程度较高，
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
由及（1）得，
，
所以关于的回归方程为.
因为，所以
所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元
18.解：（1）若，则.
因为，
所以，
整理得.
解得（舍），.
（2）因为，
所以，
整理得
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以.
19.解：（1）因为为菱形，
所以.又因为，
所以平面.
因为平面，所以.
又由已知，所以平面.
（2）因为为的中点，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
由（1）知，平面，所以.
又因为，所以，所以.
设点到平面的距离为，所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以.
20.解：（1）设，则，
由题意得所以.
所以，即，
解得.
（2）因为双曲线的右顶点，
所以双曲线的标准方程为.
因为，所以直线的斜率一定存在.
设直线的方程为，
所以所以，
所以，
即，
所以.
因为以为直径的圆经过点，
所以，所以.
又因为，
所以.
又因为，
所以，
即，
化简得，即，
解得或，且均满足，
当时，.
因为直线不过定点，故舍去；
当时，，
所以直线恒过定点.
综上所述，直线恒过定点.
21.解：（1）若时，在区间上单调递减，
所以.
若，则对称轴，
当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以.
当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，
.
若，对称轴在区间上单调递减，
综上，
（2）因为恒成立，
即恒成立，令
所以.
当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数.
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，.
令得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为.
又因为在上是减函数，所以当时，.
所以整数的最小值为2.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.解：（1）由，
得.
由得.
（2）因为曲线的参数方程为（为参数），
将其代入直线，得，
所以，所以，即.
选修4-5：不等式选讲
23.证明：（1）由，
得，即
因为，所以
（2）由（1）得，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以.
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