2023届高考数学小题狂刷卷：三角形的面积公式（含解析）

2023届高考数学小题狂刷卷：三角形的面积公式
一、选择题（共28小题）
1. 若的周长等于，面积是，，则边的长是
A. B. C. D.
2. 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1、顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A. B.
C. D.
3. 已知锐角的面积为，，，则角的大小为
A. B. C. D.
4. 某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为元，则购买这种草皮需要
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5. 已知锐角的面积为，，，则等于
A. B. C. D.
6. 中，若，，，则的面积为
A. B. C. D.
7. 设内角，，的对边分别为，，．已知，，则为
A. B. C. D.
8. 在钝角三角形中，，，，则的面积为
A. B. C. D.
9. 在中，已知，，，则的面积是
A. B. C. D.
10. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为
A. B. C. D.
11. 若，，，，则
A. B. C. D.
12. 在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为
A. B. C. D.
13. 在中，，，且的面积，则边的长为
A. B. C. D.
14. 在中，如果，，，那么的面积等于
A. B. C. D.
15. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是
A. B. C. D.
16. 在中，，，分别是角，，的对边，，且，，的面积为，则的值为
A. B. C. D.
17. 已知点，是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为
A. B. C. D.
18. 中，角，，的对边分别为，，，若，．且，则的面积为
A. B. C. D.
19. 在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于
A. B. C. D.
20. 已知的三边分别为，，，则的面积为
A. B. C. D.
21. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则的面积等于
A. B. C. D.
22. 在中，已知，，，则的值为
A. B. C. D.
23. 在中，，，，则的面积等于
A. B. C. 或 D. 或
24. 在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足，，若点是外一点，，，，则平面四边形面积的最大值是
A. B. C. D.
25. 在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，，则的面积
A. B. C. D.
26. 在中，，，，则的面积等于
A. B. C. 或 D. 或
27. 已知的内角为，，的所对的边分别为，，，且，，成等差数列，且的面积为，则的最小值为
A. B. C. D.
28. 中，，，分别是，，的对边，且满足，，的面积为，那么
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
29. 如图，如果与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么的值为．
30. 在中，，，且的面积为，则边的长为．
31. 在中，，，的对边分别是，，，若，，，则的面积是．
32. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为，且，，则．
33. 在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为．
三、解答题（共7小题）
34. 已知函数，．
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）在中，内角，，所对边的长分别是，，，若，，，求的面积的值．
35. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知且．
（1）求角的大小；
（2）若，延长至，使，且，求的面积．
36. 在中，角，，的对边分别为，，，且，．
（1）若，求的值；
（2）若的面积为，求的值．
37. 记代数式，．
（1）当时，求使代数式有意义的实数的集合；
（2）对任意，代数式有意义，求实数的取值范围；
（3）若代数式有意义，求实数的取值范围．
38. 在中，已知，，，求的面积．
39. 已知向量，，设函数．
（1）求的最小正周期，对称中心，对称轴；
（2）若函数，，其中，试讨论函数的零点个数．
40. 在中，，，，求与．
答案
1. C
【解析】由题意得得
根据余弦定理得
整理得
2. A
【解析】四个等腰三角形的面积之和为．由余弦定理可得正方形的边长为，故正方形的面积为．故所求八边形的面积为．
3. B
4. C
【解析】由面积公式知三角形区域面积为，
所以购买这种草皮需要元
5. B
【解析】因为，所以，
因为是锐角三角形，所以．
6. B
7. C
8. C
【解析】由，得，
故或（舍去），则，
所以．
9. C
10. C
11. C
【解析】由已知得，，
所以，，
所以
12. B
【解析】由余弦定理可得，所以代入已知有，从而解得，所以．
13. A
【解析】因为，所以．由余弦定理可得，即．
14. C
【解析】由题意得
15. C
【解析】由得，又，所以，所以．
16. B
【解析】由题意知，，
所以．
又，
所以．
所以．
又，
所以．
于是
所以．
于是．
17. A 【解析】抛物线的焦点，准线为，
设，，
由，可得，
由抛物线的定义可得到准线的距离为，到准线的距离为，
由梯形的中位线定理可得，
由，可得，可得，当且仅当时，取得最小值．
18. A
【解析】由余弦定理得：，
即，解得：，
所以，
所以，
所以．
19. D
20. B
【解析】设中最大的角为，所以，则，所以．
21. C
【解析】由，可得，．
22. B
【解析】因为，且，，
所以，即或．
所以或．
23. D
【解析】提示：根据正弦定解得或，所以或．
24. B
【解析】由，化为，
所以，所以，．
所以，又，所以是等边三角形，
设该三角形的边长为，则：．
则
当时，取得最大值．
25. C
【解析】因为，
所以，
即，
因为，
所以，
解得，
则三角形的面积．
26. D
27. B
【解析】因为，，成等差数列，所以，又，所以．又的面积为，即，所以，所以，当且仅当即，时取等号．
28. C
【解析】由题意，，即．
又，即．
再由余弦定理得，
所以．
所以．
29.
30.
31.
32. 或
【解析】因为，
所以．
因为是三角形的内角，
所以或．
33.
【解析】点到直线和的距离之和为，
则，
于是或或或
即或或或
在平面中，动点的轨迹如图所示，
点到原点的距离的平方的最大值为．
34. （1）因为
由，，得，，
又，所以或，
所以函数在上的递增区间为，．
（2）因为，所以，所以，
所以，，所以，，
因为，所以，所以．
在三角形中，由正弦定理得，
所以，
．
35. （1）中，，
由正弦定理得，，
所以，
又，
所以；
（2）如图所示，
设，则，
在中，由余弦定理得，
求得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以的面积为．
36. （1）在中，有正弦定理得，
所以，
所以．
（2）因为，
所以，
解得．
又因为，
所以，
所以．
37. （1）．
（2）根据题意得对任意都成立，
因为，
所以，解得或，
又，，
所以．
（3）由题意，
解得，
所以存在，使得成立，
又因为，，，
所以在时有解，
所以，即，解得或，
又，，所以．
38. ．
39. （1）由题意，得
所以函数的最小正周期为．
对称中心为：，，
对称轴为：，．
（2）由，得，则，
所以，函数，的值域为，
由（），得在区间上单调递增，在区间上单调递减．
函数，的图象如图所示，
由，得方程．
所以研究函数的零点个数，实际上就是研究方程的解的个数．
考察函数，和的图象和性质，得当时，
函数没有零点；
当，或时，函数有一个零点：
当时，函数有两个零点．
40. 方法：由正弦定理：，
得，
所以，
当时，
由，得，
所以
当时，
由，得，
所以
因此当时，；当时，．
方法：由余弦定理：，
即，
解方程，得或，
当时，；
当时，，
所以当时，；当时，．
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