高中试卷答案网
专题6 空间位置关系的判断与证明
1．（2023·四川泸州·统考二模）平面与平面平行的充分条件是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，直线，且
C．内的任何一条直线都与平行
D．直线，且直线不在内，也不在内
2．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知直线和平面，若且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东聊城·统考一模）在正方体中，直线、分别在平面和，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于
C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于
5．（2023·四川遂宁·统考二模）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为( )
A． B． C． D．3
6．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
7．（多选题）（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，M，N，P分别是BC，，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．平面
D．若，则平面平面
8．（多选题）（2023·江苏常州·校考一模）已知点是圆锥的顶点，四边形内接于的底面圆，，，，，均在球的表面上，若，，，，球的表面积是，则（ ）
A． B．平面
C．与的夹角的余弦值是 D．四棱锥的体积是
9．（2023·北京门头沟·统考二模）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是_________.
10．（2023·河南·宝丰县第一高级中学校联考模拟预测）在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.
【答案】
11．（2023·四川凉山·统考二模）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，，为的中点．
(1)当时，求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
12．（2023·广西柳州·二模）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.
(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
13．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，．
(1)求四棱锥的体积；
(2)在线段PB上是否存在点M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
14．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，已知，.
(1)求证：；
(2)若平面平面，，且，，，为线段的中点，求点到平面的距离.
15．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．
(1)求与底面所成角的正切值；
(2)点分别在和上，，过点的平面与交于G点，确定G点位置，使得平面平面．
16．（2023·四川遂宁·统考二模）如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若，，，求三棱锥的体积.
17．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．
(1)证明：平面ABE；
(2)若，，，求三棱锥的体积．
18．（2023·河南郑州·统考二模）《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶，”现有“刍甍”如图所示，四边形EBCF为矩形，，且.
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；
(2)若，且，求三棱锥的体积.
19．（2023·贵州·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面侧面，，，， ，.
(1)求证：平面平面；
(2)若点A关于中点的对称点为，三棱锥的体积为，求点A到的距离.
20．（2023·河南开封·统考二模）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，将沿AC折起（如图2）．在图2所示的几何体中：
(1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；
(2)设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为，P到平面ABC的距离为，求证：为定值，并求出此定值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
专题6 空间位置关系的判断与证明
1．（2023·四川泸州·统考二模）平面与平面平行的充分条件是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，直线，且
C．内的任何一条直线都与平行
D．直线，且直线不在内，也不在内
【答案】C
【解析】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足.故选：C.
2．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知直线和平面，若且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，由且，得；
当时，因为，所以，所以.
即“”是“”的充要条件.
故选：C
3．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A选项中，由正方体的性质可知，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误；
B选项中，因为，故平面CNQ即为平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故正确；
C选项中，因为，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故错误；
D选项中，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交于点D，则点D是在上靠近点的四等分点，
由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，平面，则平面平面CNQ，
而平面与平面，平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，
显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误．
故选：B.
4．（2023·山东聊城·统考一模）在正方体中，直线、分别在平面和，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．若垂直于，则垂直于 B．若垂直于，则不垂直于
C．若不垂直于，则垂直于 D．若不垂直于，则不垂直于
【答案】C
【解析】如图所示：
A选项，若垂直于，则面内的所有直线均与垂直，无法证明的关系，故A选项错误，B选项与A同理；
C选项，若不垂直于，因为，所以当时，，又因为，所以垂直于；D选项与C同理.
故选：C
5．（2023·四川遂宁·统考二模）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为( )
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】如图，
连接，则⊥平面ABCD，且，
由题可知∥，
又∵平面ABCD，平面ABCD，
∴∥平面ABCD，
∴点到平面ABCD的距离与点B1到平面ABCD的距离相等．
故选：B．
6．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】ABD
【解析】对于A，由，，得，又因为，所以，故A正确；
对于B，由，，得，因为，所以 ，故B正确；
对于C，由，，，得与异面或平行，故C错误；
对于D，由，，得或，又因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
7．（多选题）（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，M，N，P分别是BC，，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．平面
D．若，则平面平面
【答案】ACD
【解析】连接，由已知，，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，
由，
∴，
则，
∴，故，选项A正确．
因为分别为的中点，所以，又，
所以，由，
所以四边形为平行四边形，
因为平面，，平面，
所以MN与CD异面，选项B错误．
因为，平面，平面，
所以平面，选项C正确．
若，则四边形ABCD为菱形，
∴．又，，平面
∴平面，平面，
∴平面平面，选项D正确．
故选：ACD.
8．（多选题）（2023·江苏常州·校考一模）已知点是圆锥的顶点，四边形内接于的底面圆，，，，，均在球的表面上，若，，，，球的表面积是，则（ ）
A． B．平面
C．与的夹角的余弦值是 D．四棱锥的体积是
【答案】ACD
【解析】设底面圆的半径为，球的半径为，
已知球的表面积是，则，则，
四边形内接于的底面圆，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
，
在中，由余弦定理可得，
，
由可得，即，
所以，代入可得，所以A正确；
，
在中，由正弦定理可得，则，
设棱锥的高为，则，
所以，即与重合，
则，所以，
则中，，，
由余弦定理，，
所以与的夹角的余弦值是，所以C正确；
，所以D正确；
对于选项B，假设平面，
又有平面，平面平面，
则，而四边形中，，，，
显然不成立，故矛盾，
所以平面不成立，
所以B错误．
故选：ACD．
9．（2023·北京门头沟·统考二模）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是_________.
【答案】
【解析】如图，边长为2的正方体中，
动点M满足平面，
由面面平行的性质可得
当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意，
过作与平面平行的平面，
连接，，，平面平面，
所以.
10．（2023·河南·宝丰县第一高级中学校联考模拟预测）在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，，
∵且为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
则直线PC与平面ABCE所成角为
，
即，
所以.
11．（2023·四川凉山·统考二模）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，，为的中点．
(1)当时，求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：，取中点，连接，，如图所示，
∵为的中点，∴且，
又当时，则为的中点，
又∵，且，
∴，且，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）由题意知，在等边中，D为BC中点，则，，
又∵，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
又∵，
∴，
即三棱锥的体积为．
12．（2023·广西柳州·二模）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.
(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【解析】（1）在图2中取线段中点H，连接，如图所示：
由图1可知，四边形是矩形，且，
∴O是线段与的中点，∴且，
图1中且，而且.
所以在图2中，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，则，
由于平面，平面，
∴平面.
（2）∵，面，，∴面，
，
所以，
即三棱锥的体积为.
13．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，．
(1)求四棱锥的体积；
(2)在线段PB上是否存在点M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示．
在中，，G是AD的中点，所以．
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD，即PG为四棱锥的高．
又平面ABCD，所以．
在中，由余弦定理得
，故．
在中，，，，所以．
所以．
（2）过点C作交AB于点N，则，
过点N作交PB于点M，连接CM，则．
又因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
又，，平面CNM，所以平面平面CMN．
又平面CMN，所以平面PAD．
所以在PB上存在点M，使得平面PAD，且．
14．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，已知，.
(1)求证：；
(2)若平面平面，，且，，，为线段的中点，求点到平面的距离.
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
∵在中，，，
∴
同理可在中，，，
∴
∵，平面，
∴平面，
∵平面.
∴.
（2）解：在平面中，延长与，并交于点，连接，取得中点，连接
∵，且，
∴四边形为正方形，
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴
由（1）知平面，
∵平面.
∴.
∵平面
∴平面
∵平面
∴
∵
∴
∵在中，分别为的中点.
∴
∴平面，即平面，
∵，，，
设点到平面的距离为
∵，∴
∴
∴点到平面的距离为.
15．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．
(1)求与底面所成角的正切值；
(2)点分别在和上，，过点的平面与交于G点，确定G点位置，使得平面平面．
【解析】（1）取的中点M，连接，，．
∵侧面为菱形，，
∴为等边三角形，，,
∵，，，由余弦定理知，
∴，∴．
在中，，，有，∴．
又∵平面，∴平面．
又∵平面，∴．
∵，平面ABCD，∴平面ABCD，
∴为直线与底面所成的角，
由，则，
∴．
（2）当分别为线段和的中点时，平面平面．
证明如下：
连接，，EF，．侧面是菱形，则．
又∵，平面，
∴平面，平面，故，
平面BEF，
∴平面BEF，平面，∴平面平面BEF．
连接交于点N，连接BN，，BD．∴平面平面，
∴与平面BEF的交点G在线段BN上．
∵，∽，∴，
即点G在线段靠近的三等分点处．
16．（2023·四川遂宁·统考二模）如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若，，，求三棱锥的体积.
【解析】（1）如图，设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF．
∵平面ABC，平面ABC
∴
又∵ ∴平面PNE ∴，
同理
在，中，，
∴ ∴
在，中，，
∴，∴，即N到AB，AC的距离相等
同理N到BC，AC的距离相等，故N为的内心，N与H重合
∴平面ABC
又∵平面APM ∴平面平面ABC
（2）由已知可得，设的内切圆半径为r，
则，故，
因为H为的内心，所以AH平分，所以，
，所以，，
故的面积为，
因为， 所以，所以，得，
所以，，
故三棱锥的体积为．
17．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．
(1)证明：平面ABE；
(2)若，，，求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：连接交于点，取的中点，连接，
因为四边形为平行四边形，所以为的中点，
所以，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，即，
因为平面，平面，所以平面ABE，
（2）取的中点为，连接，
因为，，所以为等边三角形，
所以，，
因为平面平面ABCD，平面平面ABCD ，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为，
因为是直角梯形，，，，，
所以，
所以.
18．（2023·河南郑州·统考二模）《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶，”现有“刍甍”如图所示，四边形EBCF为矩形，，且.
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；
(2)若，且，求三棱锥的体积.
【解析】1）在图中取线段中点H，连接，如图所示：
由题可知，四边形是矩形，且，
∴O是线段与的中点，∴且，
又且，而且.
所以且，∴且，
∴四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴平面.
（2）∵，面，，∴面，
，
所以，
即三棱锥的体积为.
19．（2023·贵州·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面侧面，，，， ，.
(1)求证：平面平面；
(2)若点A关于中点的对称点为，三棱锥的体积为，求点A到的距离.
【解析】（1）证明：在中，由，，，
由余弦定理得，
可得，所以，故，
因为侧面侧面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）由题意可知，，，共面，且四边形是平行四边形.
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
所以.
因为，所以点到平面的距离也是2，
又因为平面平面，交线为，
所以点到的距离是2，所以.
所以点A到的距离为.
20．（2023·河南开封·统考二模）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，将沿AC折起（如图2）．在图2所示的几何体中：
(1)若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；
(2)设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为，P到平面ABC的距离为，求证：为定值，并求出此定值．
【解析】（1）记，在中，，，
在中，，由余弦定理得，
所以，所以AC⊥BC，
因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面ABC=AC，BC平面ABC，
所以BC⊥平面ACD，又平面ACD，所以；
（2）由题意，，
因为P为BD的中点，，
所以，即.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
转载请注明出处高中试卷答案网 » 专题6 空间位置关系的判断与证明（原卷版+解析版）- 2023届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）