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专题22 极值点偏移问题
1．（2023·陕西安康·统考二模）已知函数，（e为自然对数的底数）
(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；
(2)若，方程有两个根，（），求证：．
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
3．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数
(1)若时，求的最值；
(2)若函数，且为的两个极值点，证明：
4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
5．（2023·安徽马鞍山·统考二模）设函数.
(1)若对恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.
6．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
7．（2023·安徽滁州·校考二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.
8．（2023·湖南永州·统考二模）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
9．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
10．（2023·天津河东·统考二模）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
11．（2023·江苏泰州·统考模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
14．（2023·天津·统考二模）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
15．（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
16．（2023·甘肃酒泉·统考模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．
17．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.
18．（2023·安徽淮南·统考二模）已知函数．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数恰有三个零点，证明：．
19．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点 ，且，证明：.
20．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：
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专题22 极值点偏移问题
1．（2023·陕西安康·统考二模）已知函数，（e为自然对数的底数）
(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；
(2)若，方程有两个根，（），求证：．
【解析】（1）当时，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，则切线方程为.
又，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，又切线斜率为1，则
；
（2）当时，，
则由题可得有两个根，
令，则可得方程有两个根，
则.令，，则，
.注意到，
则构造函数，.
因，则在上单调递增，得
.
故命题得证.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
【解析】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.
令，则，
令，则，所以在内单调递减，
又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值.
因此，即实数的取值范围为.
（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
令，则，当时，解得.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值为.
又因为，当时，，当时，.
且时，.
所以，且.
因为是方程的2个不同实数根，即.
将两式相除得，
令，则，，变形得，.
又因为，，因此要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
因为，即证.
令，则，
所以在上单调递增，，
即当时，成立，命题得证.
【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.
3．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数
(1)若时，求的最值；
(2)若函数，且为的两个极值点，证明：
【解析】（1），，，，
所以当单调递减；单调递增.
所以在处有唯一极小值，即最小值，为，无极大值，即无最大值.
（2）证明：，令
因为，所以单调递减；单调递增，所以.
因为为的两个极值点，所以，且.
所以在、，，单调递增；在，，单调递减；
因为，则，则，
设，则，
所以在单调递减，所以，
所以，因为在，单调递减，所以.
所以要证，只需证，即，
令，
令.
所以在单调递增，，
所以在单调递增，，
所以，即.
4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，
时，恒成立，所以在上单调递减；
时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.
时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，
又，
由（1）知在上有一个零点.
又，
由（1）知在有一个零点，
所以在上有两个零点，的取值范围为
不妨设，则，且，
令
，
则，
由于（且仅当等号成立，
所以当时，在单调递减，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以即.
5．（2023·安徽马鞍山·统考二模）设函数.
(1)若对恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.
【解析】（1）解：由，得.
令，，则，
令，则.
所以，函数在上单增，故.
①当时，则，所以在上单增，，
此时对恒成立，符合题意；
②当时，，，
故存在使得，
当时，，则单调递减，此时，不符合题意.
综上，实数的取值范围.
（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.
不妨设，，则，整理得.
于是，
即.
6．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
【解析】（1）若，则，此时无零点，舍.
故，，
令，因为，故在上有且只有一个零点，
若，则，这与矛盾，故.
且时，，当，，
故在上为减函数，在上为增函数，
下证：当时，有.
证明：当时，成立，
设，则，
故在上为减函数，故即，
故，故当时且.
当时，若，则恒成立，
而当时，有，
设，则，，
故当时，即：
当时，有即.
当时，，由时的讨论可得：
若时，有，故成立.
而即时，有成立.
因为仅有一个零点，故，
所以且，
故，整理得到，
化简得到：，
令，则，其中.
设，则，
故在上均为增函数，
而，
，
故在上有且只有一个零点，
而，
故在上有且只有一个零点，
故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故在有且只有两个零点，
且即，其中即.
设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值为，
则，且，故，
故即，但，故，
故，故互为相反数.
又，其中，而在为减函数，
故，同理，故.
（2），
设，故为的两个不同的零点，
故，
故，
故，
不妨设，则，
若，则，故为上的增函数，
故至多一个零点，与题设矛盾，故.
设，则，
故在上为增函数，故，
即任意，恒成立，故对任意的恒成立，
而，故，故.
7．（2023·安徽滁州·校考二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.
【解析】（1）的定义域为，
且，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，
要想有两个不相同的零点，则，
解得：，
，故
要证，即证，
即证：，
因为在上单调递增，
所以只需证，不妨设，
两式相减得：，
变形为，
下面证明在上成立，
只需证，即，
令，即证，
构造，，
则恒成立，
故在上单调递增，
故，所以，，
故，即，所以，，证毕.
8．（2023·湖南永州·统考二模）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
【解析】（1）方法一：当时，不等式两边同除以得：
，，
记，则，
①当即时，则，
所以在上递增，满足要求，
②当时，则在上递增，
满足要求
③当时，令得，
所以在上递减，与题设不符，舍去，
综上，的取值范围为；
方法二：化为，，
记，则
①当时，由基本不等式可知：则，当且仅当时取等，所以在上递增，
满足要求；
②当时，令得，
所以在上递减，
此时与题设不符
综上，的取值范围为；
（2）定义域为，
，
令得，由题意，是方程的两个不等实根，
记，
则，令得：，令，，
故在上递增，在上递减，
因为，又，且当时，恒成立，
所以，
则，由（1）取，则时，
，
又代入，并整理得，
，
同理，，
所以.
9．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，
设，则，
所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，且等号不同时成立，所以；
（2）函数，，
若存在极值点，则，所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，不妨设，
若，则；
若，由可得，则，
所以，即对恒成立，
令，则，
则
，
设，则，
，
令，，
则，
，
令，
则，
令，则，
当时，令，
则
，
设，
所以，所以，
所以当时，，单调递增，，单调递增，
，单调递增，，单调递减，，
，符合题意；
当时，，存在，单调递减，，
，，单调递增，，，
不符合题意；
所以，由单调递增可得.
10．（2023·天津河东·统考二模）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
【解析】（1）当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
11．（2023·江苏泰州·统考模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【解析】（1）当时，，
当时，因为，所以此时不合题意；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要，只需，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，故实数b的取值范围为．
(2)当时，，，
令，则，
因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，
令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为有两个零点，所以，则，
设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，即
①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，
则，在上单调递减，
因为，所以，即，
亦即，
因为，，在上单调递增，所以，
则，整理得，
所以，故①成立
②令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，
即，故②成立．
③令，，则，
令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，则，
两边约去后化简整理得，即，
故③成立．
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
【解析】（1）由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，
所以a的取值范围是．
(2)证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，
所以等价于，即．
设，
则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
【解析】（1）证明：令，
因为，
所以在上单调递增，所以，
即当时，.
(2)证明：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，
所以.
因为方程有两个不等实根，所以.
不妨设.
由（1）知，当时，；当时，.
方程可化为.
所以，整理得.①
同理由，整理得.②
由①②，得.
又因为所以.
法二：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，所以.
因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.
要证，只要证，只要证：.
因为在上单调递增，只要证：.
令，只要证，恒成立.
因为，
令，则，
故在上单调递增，，所以，
所以在上单调递减，所以，故原结论得证.
14．（2023·天津·统考二模）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
【解析】（1）因为，
所以．
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2）由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
（3）证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
15．（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
【解析】（1）当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
16．（2023·甘肃酒泉·统考模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：．
【解析】（1）因为，则，所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
(2)证明：因为，，所以．
因为为增函数，所以在上单调递减，在上单调递增．
由方程有两个不等实根、，则可设，
欲证，即证，
即证，而，即，
即，
设，其中，
则，设，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以，即，故得证．
17．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.
【解析】（1）由可得，令，其中，
则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数，
，令可得，列表如下：
减 极小值 增
如下图所示：
当时，函数无零点；
当时，函数只有一个零点；
当时，函数有两个零点.
（2）证明：，其中，
所以，，由已知可得，
上述两个等式作差得，
要证，即证，
因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则，
因为函数在上单调递增，，，，
设函数的图象在处的切线交直线于点，
函数的图象在处的切线交直线于点，
因为，所以，函数的图象在处的切线方程为，
联立可得，即点，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
所以，对任意的，，当且仅当时等号成立，
由图可知，则，所以，，
因为，可得，
函数在处的切线方程为，
联立，解得，即点，
因为，
所以，，
构造函数，其中，则，，
当时，，此时函数单调递减，
当时， ，此时函数单调递增，则，
所以，对任意的，，当且仅当时，等号成立，
所以，，可得，
因此，，故原不等式成立.
18．（2023·安徽淮南·统考二模）已知函数．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数恰有三个零点，证明：．
【解析】（1）时，函数，
则，
在上单调递增，
所以．
（2），显然为函数的一个零点，设为；
设函数，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
由已知，必有两个零点，且，下证：．
设函数，则，
，
由于，则，
由（1）有，故，
即函数在上单调递减，
所以，
即有，
由于，且在上单调递增，
所以，
所以．
19．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点 ，且，证明：.
【解析】（1）解：函数的定义域为，.
①当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.
②当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：因为为的两个零点，所以，，
两式相减，可得，即，，
因此，，.
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，即.
因为，所以，故得证.
20．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：.
【解析】（1），
令，
则，；
当时，，在上单调递减，
又，，，使得，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，又当时，，；
当时，，即；当时，，即；
的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知：若，则，
要证，只需证，
，，
又在上单调递减，则只需证，
，则只需证，即证，
则需证，又，
只需证，即证，
令，
则，，
在上单调递减，，
在上单调递增，，
，原不等式得证.
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