高中试卷答案网2023年安徽省马鞍山市雨山实验学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在，，，四个数中，最小的是( )
A. B. C. D.
2. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
3. 随着科学技术的不断提高，网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到年，中国用户将超过人，将数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下面几何图形的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，直线，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 甲、乙、丙三人排成一排照相，甲、乙两人相邻的概率是( )
A. B. C. D.
7. 若方程有两个相等的根，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在 中，为边的中点，连接交于点，射线与射线交于点，与交于点，下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
9. 已知、是一次函数图象上的不同的两个点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 计算： ．
12. 已知一元二次方程的两根是和，则抛物线的对称轴为______．
13. 如图，菱形的边，分别与相切于点、，若点是的中点，半径，则扇形的面积是 结果保留
14. 如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点落在处，分别延长、交于点、，若是边的中点，则 ， ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
解下列方程：．
16. 本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点及平面直角坐标系．
将绕点逆时针旋转得到，请作出；
以点为位似中心，在第四象限将放大倍得到，请作出．
17. 本小题分
如图，四边形是一块菜地，现准备修一条小路小路的宽度不计，将菜地分为两块，分别为和，已知，，，，，求这块菜地的面积结果保留整数，参考数据：，，
18. 本小题分
观察下列等式的规律，解答下列问题：
第个等式：．
第个等式：
第个等式：．
第个等式：．
请你写出第个等式： ．
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并证明．
19. 本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点且与反比例函数是不为的常数的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若．
求的值；
求两个函数图象的另一个交点的坐标；
请观察图象，直接写出不等式的解集．
20. 本小题分
如图，已知为的直径，过上点的切线交的延长线于点，于点且交于点，连接，，．
求证：；
若，，求的长．
21. 本小题分
为了调查国家的“双减”政策的落实情况，某中学对七年级学生做了一次作业时间调查，了解学生每天家庭作业完成的时间情况如图是七年级其中一个班根据调查结果制成的统计图每个时间段包括左端点，不包括右端点
该班的学生每天完成家庭作业所用的时间哪个人数段人数最多？
该班的一个学生说：“我写家庭作业用的时间是我班的中位数”判断该同学每天完成家庭作业的时间范围；
若以组中值为每个时间段的平均值，如：组以为组内平均完成作业时间，根据上述信息，估计全班每天完成作业所用时间的平均数．
22. 本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于、两点点在点的左侧，一次函数的图象经过点和二次函数图象上另一点其中点的坐标为．
求二次函数和一次函数的解析式；
若抛物线上的点在第四象限内，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段的最大值．
23. 本小题分
如图，在正方形中，，为对角线上任意一点不与、重合，连接，为边上一点，且．
求证：；
若，求的值；
如图，连接交于点，若，直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
在，，，四个数中，最小的是．
故选：．
根据正数大于，大于负数，可得答案．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，熟记有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：将数用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：该几何体的俯视图如图所示：．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
6.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人相邻的结果有甲，乙，丙，乙，甲，丙，丙，甲，乙，丙，乙，甲，共种，
甲、乙两人相邻的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两人相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
为边的中点，
，
，
，
∽，
，
，
故A正确；
，
∽，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故B正确；
∽，
，
，
故C错误；
，
，
，，
，
，
故D正确，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，由∽，得，则，可判断A正确；由，证明∽，得，则，可推导出，再证明≌，得，所以，可判断B正确；由∽，得，则，可判断C错误；由，得，所以，，可证明，所以D正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、高相等的两个三角形的面积的比等于底边的比等知识，证明∽及≌是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、是一次函数图象上的不同的两个点，
，，且，
，
，
，
，
．
故选：．
将点，点坐标代入解析式可求，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出是关键，是一道基础题．
10.【答案】
【解析】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，
点在反比例函数上，点在上，
，，
又
，
∽，
，
，
设，则，，
在中，．
故选：．
点，落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】直线
【解析】解：元二次方程的两根是和，
，即，
抛物线的对称轴为直线，
故答案为：直线．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据抛物线对称轴公式即可得到抛物线的对称轴为直线．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，抛物线的对称轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形为菱形，
，
，分别与相切于点、，
，，
点是的中点，
垂直平分，
，
，
和都为等边三角形，
，平分，平分，
，
，
扇形的面积
故答案为：
先根据菱形的性质得到，再根据切线的性质得到，，则垂直平分，所以，于是可判断和都为等边三角形，
根据等边三角形的性质得到，平分，平分，则可计算出，然后根据扇形的面积公式求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和扇形的面积公式．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
点是边的中点，
，
由折叠得：，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
，，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
，
，
∽，
，即，
．
故答案为：，．
如图，连接，可证得≌，则，设，则，利用勾股定理求得，再由∽，即可求得答案．
此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
15.【答案】解：移项，得：
则
则或
解得：，．
【解析】首先移项，把方程的右边化成，左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程．
16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
．
【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
把、、点的横纵坐标都乘以得到对应点、、的坐标，然后描点即可；
本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
17.【答案】解：过点作于点，
，，
，
在中，
米，
由勾股定理可知：米，
在中，，
米，
米，
，
米．
，
，
在中，，
米，
米，
米，
这块菜地的面积为：米．
答：这块菜地的面积为米．
【解析】过点作于点，根据，，可知，从而可求出与的长度，再根据，可求出的长度，然后分别求出与的面积即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
18.【答案】
【解析】解：由题意得：第个等式为：．
故答案为：；
猜想的第个等式：，
证明：左边，
右边，
左边右边，
猜想成立．
根据所给的等式的形式进行求解即可；
分析所给的等式的形式，再进行总结，把等式左边的式子及右边的式子进行整理即可证明．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
19.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
．
，
，
．
把代入一次函数，
得，
．
点在反比例函数是不为的常数的图象上，
；
由，解得或，
的坐标为；
由图象可知，不等式的解集是或 ．
【解析】先求出、、坐标，再把点坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法确定函数解析式即可；
两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可求得点的坐标；
根据图象一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即可解决问题．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了利用待定系数法确定函数解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
20.【答案】证明：如图，连接，
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：在中，
，，
根据勾股定理得，
，
∽，
，
设的半径为，
，
，
，
，
答：的长为．
【解析】根据切线的性质首先得出，再利用平行线的判定得出，进而利用圆周角、圆心角定理得出；
首先求出∽，进而得出的长，即可求出的长．
本题考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出．
21.【答案】解：由图知，该班的学生每天完成家庭作业所用的时间在人数最多；
因为一共有人，其中位数为第、个数据的平均数，而这两个数据均落在这一时间段，
所以该同学每天完成家庭作业的时间的中位数在这一时间段；
全班每天完成作业所用时间的平均数为．
【解析】由频数分布直方图可直接得出答案；
根据中位数的定义可得答案；
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握中位数、加权平均数的定义．
22.【答案】解：把代入得：
，
解得：，
一次函数解析式为，
当时，，
解得，
则，
把，代入得：
，
解得：
抛物线解析式为；
设，则，
，
当时，最大，最大值为．
【解析】先把点坐标代入可求出，从而得到一次函数解析式为，则易得，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设，，则，把解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求的最大值．
本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数解析式．
23.【答案】证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即；
解：如图，过点作于点，于点，
四边形是矩形，
，
，
设，则，
，
，，
；
解：由知是等腰直角三角形，
，
又，
，
又，
∽，
，
又，，
，
设，则，
，
，，
，
，
．
【解析】连接，由正方形的性质得出，，证出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作于点，于点，设，则，由直角三角形的性质得出，，则可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，由勾股定理求出则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
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