高中试卷答案网2022-2023学年天津市益中学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在中，，，则( )
A. B. C. D.
2. 在中，、、的对边分别为、、，若，，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4. 如图所示，、是的边上的两点，且，则化简的结果为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7. 等边三角形的边长为，则( )
A. B. C. D.
8. 已知复数，则：
在复平面内对应点的坐标为；
复数的虚部为；
复数的共轭复数为；
；复数是方程在复数范围内的一个根．
以上个结论中正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
9. 在中，，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
10. 已知菱形中，，，，，若，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 复数的值为 ．
12. 已知向量，，，若，则实数 ．
13. 若为虚数单位，且，则 ．
14. 若向量，则与平行的单位向量是______．
15. 给出下列四个命题：
非零向量满足，则与的夹角是；
若，则为等腰三角形；
若单位向量的夹角为，则当取最小值时，；
若为锐角，则实数的取值范围是．
则其中所有正确的序号为______．
16. 正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面上一点，满足，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
平面内给定三个向量，，．
求，；
求；
若，求实数．
18. 本小题分
已知向量与的夹角为，且，
求，；
若与共线，求；
19. 本小题分
已知复平面内的点，对应的复数分别为，，
设对应的复数为．
当实数取何值时，复数是纯虚数；
若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
20. 本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，已知．
求的值；
若，求的值．
21. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求角；
若，求的值；
若的面积为，求的周长．
22. 本小题分
在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
若，求的值．
求的取值范围：
若为线段的中点，直线与相交于点，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：
根据向量的基本运算进行化简即可．
本题主要考查向量的坐标运算，根据向量减法的法则是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
由正弦定理得：，
故选：．
由与的度数求出的度数，根据，，以及的值，利用正弦定理求出的值即可．
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
可得，
因为，
所以．
故选：．
由正弦定理化简已知等式可得，又，可得，进而根据余弦定理可得，结合范围，可得的值．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据可得出，然后根据即可化简．
本题考查了向量减法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．
根据向量的基本定理结合向量加法的三角形法则分别进行分解即可．
【解答】
解：，，
，
，，
，
，
，
，，
则，
故选A．
6.【答案】
【解析】解：在方向上的投影向量为，
故选：．
直接利用投影向量公式计算即可．
本题考查一个向量在另一向量方向上的投影向量求解，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．
本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．
【解答】
解：因为三角形是等边三角形，边长为，并且各内角为，
所以；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：；
故在复平面内对应点的坐标为，
故正确；
复数的虚部为，
故错误；
复数的共轭复数为，
故错误；
，
故正确；
方程的解为，
故正确；
故选：．
化简，再对个命题依次判断即可．
本题综合考查了复数的概念及几何意义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由，整理得，
化简得：，
由于，
所以，由于，
所以．
所以为直角三角形．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值，进一步判定三角形的形状．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
10.【答案】
【解析】解：连接，，分别以，所在的直线为，轴，建立如图的平面直角坐标系，
，，
，，即为边的中点，
设，则，，
，，由题意知，
，，，解得．
故选：．
可分别以，所在的直线为，轴，建立平面直角坐标系，根据条件可求出，然后设，从而可得出和的坐标，根据即可求出的值．
本题考查了菱形的对角线互相垂直，通过建立坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量平行关系的坐标表示，考查运算求解能力等数学核心素养，属于基础题．
推导出，由，列方程能求出．
【解答】
解：向量，，，
，
，时不成立，所以，
，
解得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：因为，
则，，，，
故．
故答案为：．
利用复数的运算求解的值，利用虚数单位的性质，求解与的值即可．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：向量，则与平行的单位向量是，
即或，
故答案为：或
由题意，根据与平行的单位向量是，得出结论．
本题主要共线向量与单位向量的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于，不妨令向量满足，则，得，
故，故，结合向量夹角的范围可知，则与的夹角是，故正确；
对于，设中点为，则，即，故AE，结合等腰三角形三线合一的性质可知：，故正确；
对于，结合已知得：，易知，当时，原式取最小值，故正确；
对于，由已知得，，令，解得，此时，故两向量同向，与为锐角时，则实数的取值范围是矛盾，故错误．
故答案为：．
根据平面向量的夹角公式和模长公式，向量线性运算、数量积的性质以及向量共线的条件逐项判断即可．
本题考查平面向量模长、夹角的计算，同时考查了数量积的定义和性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立坐标系，
则，，
，
即点坐标为，
设，则，，
，
，
当且时，有最小值．
故答案为：．
建立坐标系，根据，求出点坐标，设出，坐标分别为，，将转化为关于，的函数，即可得到其最小值．
本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
所以；
因为，所以，
所以；
因为，
又，
所以，解得．
【解析】根据平面向量夹角的坐标公式即可求解；
根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解；
根据平面向量垂直的坐标表示即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
18.【答案】解：；
，则；
若与共线，
则存在，使得，
即，
因为，不共线，
所以，解得，，
故．
【解析】利用向量的数量积的公式求解数量积，向量的模的运算法求解模；
根据共线向量的条件得到存在，使得，对应化简得到，解出即可．
本题考查向量的数量积的运算，向量的模以及共线向量的条件，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：因为，
当复数是纯虚数时，有，
解可得，
当复数在复平面上对应的点位于第四象限时，
则，
解可得，，
所以
【解析】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
直接由已知的复数得到，然后结合纯虚数的定义可求，
结合复数在第四象限的特点限制的范围，解不等式可求．
20.【答案】解：由于，
整理得，故；
所以．
由得：，
由正弦定理得：，由于，所以
所以，故，根据大边对大角，所以．
故，，
故．
【解析】直接利用关系式的变换和余弦定理求出结果；
利用正弦定理和三角函数关系式的变换及倍角公式求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理，三角函数关系式的变换，倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
21.【答案】解：由正弦定理得，，
即，
，，，；
、，，
；
由余弦定理得，由面积公式得，
则，的周长为．
【解析】结合正弦定理、正弦和公式、三角形三角关系、诱导公式化简求值即可；
由平方关系、倍角公式、余弦和公式化简求值；
由余弦定理及面积公式化简求得，即可求得周长．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，
，即，
，
又，
，
；
在中，，，，
，
，
设，由题意，，
，
又，
，即的取值范围为；
为线段的中点，
，
直线与相交于点，不妨设，
，
因此，
又，故，
因此，
，解得，
．
【解析】由平面向量基本定理易得，进一步可求得，由此得解；
设，而，利用二次函数的性质即可得解；
设，可得，由此，解得，由此即可求得答案．
本题考查平面向量的综合运用，考查函数思想及运算求解能力，属于中档题．
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