高中试卷答案网光正实高2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试题 解析
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加减法则化简即可.
【详解】由.
故选：B
2．若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B．48 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的定义计算可得
【详解】解：，，与的夹角为，
则向量在上的投影向量为：．
故选：C．
3．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象变换直接求解.
【详解】因为,所以要得到函数的图象，
只需要将函数的图象向右平移个单位,
故选:B.
4．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则..
故选：B.
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式求出，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】因为，所以，
则.
故选：D.
6．设，， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得，，，再由即可求得本题答案.
【详解】由，则，又，所以，而，则，
所以
故选：C
7．函数的图象与函数的图象的交点个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.
【详解】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故选B.
【点睛】本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
8．已知函数（）有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上有且只有一个根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】D
【解析】
【分析】正弦函数的对称轴为，求的对称轴为，根据已知条件得，，由取最小值时在上的值域，结合在上有且只有一个根，即可知a的范围
【详解】由正弦函数的对称轴为
∴，得，又函数有一条对称轴为
即，有，，
取最小值时，有即在的值域为
又∵方程在区间上有且只有一个根，即与有且仅有一个交点，有如下示意图
∴或时，在区间上有且只有一个根
故选：D
【点睛】本题考查了正弦函数的性质，根据正弦函数的对称轴求()，进而得到其最小值，再由方程在区间内有且仅有一个根，即与有且仅有一个交点求参数范围
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，少选且正确得2分）
9．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量平行四边形加法和三角形加法法则进行计算.
【详解】由平行四边形加法法则可得：，A正确；
由三角形加法法则，B错误；
，C正确；
，D正确.
故选：ACD
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互余关系以及两角差的正弦可化简A,根据正切的二倍角公式可求解B，根据余弦的二倍角公式可化简C，根据同角平方关系以及正弦的二倍角公式即可化简D.
【详解】,故A对，
，故B错，
，故C对，
，故D对，
故选：ACD
11．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是函数的一个对称中心
C． D．函数在区间上是减函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图像可得函数周期和最值，根据周期得到，代入最值点得到，进而可得，计算是否为零可判断是否函数的一个对称中心，根据，得到，可判断函数在区间上的单调性.
【详解】由图可知，，，故，A正确；
则，
又，得，
因为，，C正确；
因为，故不是函数的一个对称中心，B错误；
当时，，函数在上不是单调函数，所以函数在区间上也不是单调函数，D错误.
故选：AC.
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为
C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6
D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A正确；
对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，
因为，所以，即，
所以，故B错误；
对于C,由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，
因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，
故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C正确；
对于D,因为，，
所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确．
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量与不共线，若向量与向量共线，则实数__________.
【答案】-1
【解析】
【分析】由向量共线，有，为实数，列方程组求k即可.
【详解】向量与向量共线，设，即，∴.
故答案为：-1.
14．若函数（其中常数）的最小正周期为2，则的值为________
【答案】
【解析】
【分析】结合正切型函数的周期公式即可直接求解.
【详解】由题意可知，解得.
故答案为：.
15．已知函数，若函数在区间上的最大值为，最小值为.则实数的值为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】由，得到，得到，结合和题意，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，则，所以，
又因为，所以，解得，所以.
故答案为：.
16．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数 在区间上有且仅有一个零点，列出不等式组求出的取值范围即可
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
函数在区间上有且仅有一个零点，
，，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数的图像变换，考查了计算能力，而且还涉及了零点问题，有一定综合性，属于中档题．
四、解答题
17．已知.（满分10分）
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】 (1)，；(2)
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.
【详解】（1）∵,且, ∴,
∴,.
（2）
18．已知向量与的夹角，且，．（满分12分）
(1)求，；
(2)求．
【答案】 (1)，；(2)
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义求解，利用数量积的运算律及定义计算；
（2）根据数量积的性质求解模长即可．
【详解】（1）已知向量与的夹角，且，，
则，
．
（2）．
19．已知函数.（满分12分）
(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；
(2)解不等式.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象；
（2）根据函数图象列式可求出结果.
【详解】（1）完成表格如下：
0
0 2 0 0
在区间上的图象如图所示：
（2）不等式，即.
由，解得.
故不等式的解集为.
20．已知函数．（满分12分）
（1）求的最小正周期及的最小值；
（2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图像，求的单调增区间．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，再结合周期公式即可求出最小正周期，结合函数的图象与性质即可求出最小值；
（2）先根据平移变换求出的解析式，进而结合函数的单调性，整体代入法解不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以的最小正周期；当时，；
（2）由题意可知，
因为在上单调递增，
所以，即，
所以的单调增区间
21．某港口的水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（满分12分）
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 7 10 13 7 10
经过长期观测，可近似的看成是函数
(1)根据以上数据，求出的解析式；
(2)若船舶航行时，水深至少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
【答案】(1)；(2)（1：00 5：00），（13：00 17：00）
【解析】
【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出和；再借助于相隔12小时达到一次最大值说明周期为12求出即可求出的解析式；
（2）把船舶安全转化为深度，即；再解关于的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港.
【详解】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
且相隔12小时达到一次最大值说明周期为12，
因此，
故.
（2）要想船舶安全，必须有深度，即，
，解得：，
又，当时，；当时，；
故船舶安全进港的时间段为（1：00 5：00），（13：00 17：00）.
22．已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，值域为；
(3).
【解析】
【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.
（2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答.
（3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，，.
（2）由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，所以在上的值域为.
（3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，
则，解得：，又，即有，
于是得，由得：，，
而函数的周期，
依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，
则有，即，解得，
所以正实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.光正实高2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B．48 C． D．
3．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象与函数的图象的交点个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数（）有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上有且只有一个根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，少选且正确得2分）
9．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是函数的一个对称中心
C． D．函数在区间上是减函数
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为
C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6
D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量与不共线，若向量与向量共线，则实数__________.
14．若函数（其中常数）的最小正周期为2，则的值为________
15．已知函数，若函数在区间上的最大值为，最小值为.则实数的值为_______.
16．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．
四、解答题
17．已知.（满分10分）
(1)求，的值；
(2)求的值.
18．已知向量与的夹角，且，．（满分12分）
(1)求，；
(2)求．
19．已知函数.（满分12分）
(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；
(2)解不等式.
20．已知函数．（满分12分）
（1）求的最小正周期及的最小值；
（2）将函数的图像上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的，得到的图像，求的单调增区间．
21．某港口的水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：（满分12分）
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 7 10 13 7 10
经过长期观测，可近似的看成是函数
(1)根据以上数据，求出的解析式；
(2)若船舶航行时，水深至少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
22．已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.