高中试卷答案网汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试
数学〈理科〉
本试卷头 23 小趟，共 150 分，共 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回 ．
注意事项：
1.答题前 ， 考生先将自己的姓名 、 准考证号码1真写清楚 ， 将条形J马准确粘贴在条开；.i马区域内
2 选绎题必须使用 28 铅笔填涂：非这将题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写 ， 字体
工整 、 笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答是E卡各题目的答题区城内作答 ， 超出辛辛题区域书写的答案元效；在草
稍低 、 试卷土答题元效 ．
4作圈可先伎 )fl 铅笔画出 ， 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑
5.保持卡面清，吉 ， 不妥折叠 、 不妥弄破 、 弄皱 ， 不准使用涂改；夜 、 修正带 、 刮纸刀 ．
第 I 卷〈选择题 共 60 分〉
一、选择题 g 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ． 在每小题绘出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设全集为 R ，集合A={xllxl<3}, B={xl-l
2 己知复数 z=(m-m2 )+mi （川）为纯酬 ， 则复数告在复平而｜州的点
所在的象限为（
A第一象限 B.第二象限 c.第二象限 。第四象限
3若sin （π － α）＝.！. ， 11.主纣匀 ， 则sin2α的值为（ 〉
3 2
A. －一2.J二 B. －一4.J二 2.J 4.J c 」－ D. . 」ι
9 9 9 9
4.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关 ．如图为某校数学社团用数学
软件制作的“蚊香’＼画法如下：在水平直线土取长度为1的线段 AB 作一， 个等边三角形 ABC.
然后以点B为圆心 ， AB 为半径逆时针画因弧交线段 CB 的延长线于点 D 一（第 段囚弧〉，再以
点C为圆心， CD 为主和径逆时针画困弧交线段 AC 的延长线于点E，再以点d为圆心， AE 为半
径逆时针画图弧......以此类推，当得到的蚊“ 香”恰好有11段困弧时 蚊“， 香”的长度为〈 〉
A. 14π B. 18π c. 30π D. 44π
5 设 λeR 则 “， 2=1 ” 是 “ 直线 3x＋（λ－l)y=1 与直线 λx+(l － λ）y=2 利于 ” 的（
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
c. 充要条件 。． 既不充分也不必主要条件
6. 己知点A,B 在阁。：对＋ 2 y = 16 上， 且 IABl=4, P 为阁。上任意 一点， 则 AB·BP 的最小值（〉
A. 0 日. -12 C. -18 D. -24
现科数学第l页（共4页〉
7.定义aR上的函数 y= .f(x）满足以下三个条件：
①对于任意的xεR，都有 J(x + 1) = f( x -1) ;
②函数y=f(x+l ） 的图象关于y轴对称：
①对于任意的x1 ,x2 E [0,1］，都有［／（x1 )-f( x2 )](x1 -x2 ) > 0 ;
叫%｝ /(2）＇川大小关税（ 〉
A. 1(%)> ／阳阶 B f阳（2) > 1(%)
C. 1(%)> /(3)> /(2) D. f阳（%）＞ /(2)
8.如图，在正方体 ABα）－ A1 B1 C1 D1 中，点P在线段 B,C 上运动，
则下列叙述不正确的结论是（
A.直线 BD，. 上平面矶C,D
8.三楼锥 P-A,C,D 的体积为定值
C 异面直线 AP 与。所成角的取值范围是［4”。。 ］
。直线 C,P 与平丽仰所成阳弦值的最大值为子 A'-'-
9 已知函数f(x) = A sin(w肿的（A ＞ 阳＞ 0,0 ＜伊〈？）满足下列两个条件：
①函数y= f(x － 王）是奇函数：②If(x,) -f(x2 ) 1,nax = 2 ，且Ix, -x I n＝王，12 2 时
若函数／川（÷ t］ 上存在最小值，则始t的最小值为（ 〉
π π 5π 7π
A. - B. - C. 一－ D. 一－
4 3 12 12
10.己知函数.f(x）的定域为R，图象恒过点（0,2），对任意 x ,x ER，当 x 笋 X 时，都有1 2 ， 2
忖；；叭 l 贝I］不等式 f[ ln(ex-2）］＜叫e·'-2）的糊为（ 〉
A. （叫ln2) B. (ln2,Ln3) C. (Ln3,2ln 2) D. (2Ln2， 叫
11.己叫线兰卡I （α＞ 0,b>O)ft ， 右焦叫为川川剧心 IF;OI为半径的
圆与该双曲线的两条渐近线在 y 输左侧交于 A,B 网点，且t:,.F2 AB 是等边三角形，贝I］双曲线
的离心率为（
A. 2 B. .J2 C. .fj + l D. .fj + 2
12. 设 X1 ,X2 分别是函数 .f(x)=x-a叮 和 g(x) = xlog. x-1 的零点（其中α＞ l ），则 x, +4毛的取
值范围是（
A. [4,+oo) 8. (4,+oo) C. [5,+oo) D. (5,+oo)
理科数学第2页（共4页〉
第H 卷（非选择题 共90 分〉
二、填空题 g 本大题共4小题， 每小题5分，共20分．
13.己知向最马＝ (2,1), b = (-3,-1） ， 且 kb-a 与马垂直， 则 k ＝ 一一一·
14.在MBC 中 ， AB= 4 , BC= .J3 , B ＝ 主， D在线段 AB 上 ， 若 MDC 与 MDC的面积之比
6
为3: I，则 CD ＝ ·
一一一一一
15. 叫x3 -a)(2→J的展开式中各项刚刚－I 则该展开式中的常数项为一－
16. 已知。为坐标厉、点，抛物线 E的方程为 2x =4y ， 直线 l与 E 交于 A,B 两点，若 OA.l..08,
则 MOB 面积的；最小值为一一一一一·
三、解答题 g 共70分 ． 解答题写出文字说明、证明过程和溃，事步骤． 第17～21题是必考题，每
个考生都必须作答．第22、23题是选考题，考生根据要求作答．
〈一〉必考题 g 共60 分 ．
17. （本小题满分12分〉
“绿7)(青山就是金山银山 ” 的理念越来越深入人心 ． 据此，某｜对站调查了人们对生态文明建设
的关注情况 ， 调查数据表明 ， 参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的
关注生态文明建设的人员中随机选出200人 ， 并将这200人按年龄〈单位．岁〉分缎：第l组
[15, 2日 ， 第2组［25, 3日 ， 第3组［35, 4日，第4组［45, 5日 ， 第5组［55, 6日 ， 得到
的频率分布直方图如 l望所示 ．
(1）求这200人的平均年龄〈每一组用该组区间的中点值作为代表〉．
(2）现在要从年龄在第1, 2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人 ， 再从这5入中随机
抽取 3人进行问卷调查 ， 求抽取的 3 入中至少 1 人的年龄在第 l 组中的概率：
(3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员〈假设人数很多，各人是否
关注生态文明建设互不影响〉中任意逃出3 人，设这 3 入中关注生态文明建设的人数为
x ， 求随机变量X的分布列及期望． 频率
组距
。d二二二二丁＋…
0.0151--
0.0101-
18. C本小题满分12分〉
如｜蜀，等般梯形 ABCD中， AB II CD , AD = AB = BC = L CD = 2 , E 为 CD中点，以 AE
为折痕把 f::.ADE 折起 ， 使点D到达点P的位置＜ P
(2）若把 6.ADE 折mjflj当平面PAE l..平面ABCE 时 ， 求二丽角 A-PE-C的余弦值．
E C
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19. （本小腿满分12分〉
己知数列（α，， ）的前n项和为乱，α1 = I, 从：①a,,+2 -a.= 4;
②孔＝ na,,+1 -n(n + 1); ＠α 一－肿I α，， ＝ 2 中远出 个能确定（川的条件，补充到楼线处，并 解
答下丽问题 ．
(l）求数列（α，， ）的通项公式：
4”
ω 设数列b. = (-1 ）＂石：’求数列｛川的前 10顺利可∞
20. （木小题满分12分〉
己知过点（l,e）的椭圆 ： ;.+- i=l（α ＞ b >0）的焦距为2，其中e为椭圆E的离心率a口
(l）求E的标准方程；
(2）设。为坐标原点，直线l与E交于 A,C 两点 ， 以 OA, OC 为邻边作平行四边形 OABC ， 且
点B恰好在E上 ， 试问：平行四边形 OABC的面积是否为定值。若是定值 ， 求出此定值：若
不是，说明理由．
21. （本小腿满分12分〉
已知｜函数 f(x) =ex + sin x - mx 的图象在点（0,/(0））处的切线与直线y+l=0平行．
(1）求实数m的值，并求函数 f(x ） 的单调区问：
（盯着不等式f(x)-a 2λ -) ;;;: 0对任意xe[O+, oo）恒成立， 求实敛。的取值范围
〈二〉逃考题z共10分． 考生从22 一 一、 23题中任选 题作籍，如果多傲，则按所傲的第 题计分．
作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目；对应的题号涂黑．
22. （本小腿满分10分） j在修4-4：坐标系与参数方程
x=l＋一
、／2一－ t,
在平面直角坐标系 xOy 中 ， 直线l的参数方程为 三 (t 为参数）， 以坐标原点为极
y =2 ＋子
点 ， x 轴的正料由为极输建立极坐标系 ， 曲线C的极坐标方程为ρ2 ＝一三τ一
1 + sin＂ 。
(l）求直线l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程：
1 1
(2）肘（1,2） ， 直线I轴线C交于 A, B 网点 ， 求同＋阿
23. （本小题满分10分〉选修4-5：不等式 讲
设f(x)=Ix-II,
(l）求f(x） 2 的解集：
(2 ）设 g(x) = f(x+l)+ f(x）的最小值为α ，若 x+y+z = a(x,y,z e R丁，
I x+v
求u＝ 一一一＋一 的最小值．
x+y z
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理科数学参考答案
6 8 9 10 11 12
c c B A D
13. _2_ 14. I 15. -64 0 16. 16
三、解答题g 共70分．第17～21题是必考题，第22、23题是选考题，考生根据情况作答 ．
（一〉必考题g 每小题12分，共60分．
17.解 ： “）由小矩形而积和：l等于l可得 ： （0.01+0.015 ＋ α ＋ 0.03+0.0l)xlO=l,
。＝O. 035
平均年龄
(20×0.0 1+30×0.01 5+4 0×0 035+50×0.030 +60×0 01 0）×10=41.5 … . 2分
(2）第l组总人数为200 ×0.01 ×10=20 ， 第2组总人数为200 ×0.015 ×10=30
20
放用分层抽样后 ， 第l组抽取5× 一 ＝2人，第2组抽取弘 一
3 0 ＝3 人
50 50
再从这 5 入中抽取3 人 ， 设至少 1 人的年龄在第 l 组中的事件为 A，其概率为
「-.3
P(A)=l－」＝－9
可 10 6分
州题意可知X服从二项分布川（3. 1)
.'.P(X = 0）＝（甘＝士，P(X=l)=C ix(!1二旦
5 125 × \ 5 J 125
2
P(X =2)=C：×(l s41JγI 48 ， = 3) = (4 , 64 P(X )3 . ……. . 币 5 = JO 分125
:.x的分布列为 ：
x 。 2 3
12 48 64
p
125 125 125 125
X的数学期望E(X）＝叩＝12τ 句，＆分
18.解 ： （1）连接 BD ， 设 AE 的中点为0,
·: AB 矿 CE . AB = CE =!:..CD . 2分
．·．四边形 ABCE为平行四边形 ， ：. AE=BC=AD=DE,
:. L:::.ADE, L:::.ABE为等边三角形 ，
:. OD ..1 AE, OB ..1 AE ，折叠后 OP ..lAE,
OB..lAE ， 又 OP门 OB=O, 点？＼
理科数学第l页（共5页〉
:. AE .L平丽 POB ，叉 PBc!fL丽 POB,
二 AE.LPB ……. 6 分
(2）若平面PAE..l 平面ABCE , L'!P PO .L平面 ABCE,
以0为原点 ， OE 为x轴， OB 为 y 俐 ， OP 为z轴，建立空间直角坐标系 ，
叫0, 0，子）. :(1 0. 0} c(i.子。）
叫 O ， ，引 卡 。）E 子
设平面 PCE 的一个法向的叫 y, z), 吨；：：： x
.!..x － 主 z=O
RP 」：元 令 x=../3 得，11 ＝（♂－11) … 8分
。
又o…阳E O～（。子。）州附…向量 10 ::$}
n 1 ，／气
设平面 PAE 与-'f丽 CPE 夹角
I
为α ，则
l 1.句
cosα＝I｜l
cos（I凡 ’ n
飞 I
口 2、
｝｜＝←→ 二 一一γ 十＝ ＝二二 ’
11 ln1I队｜♂ 5
由图观察知 ， 二丽角 A-PE-C 是钝角 ，
二丽角 A-PE-C 的钳制 － 主 12分
5
19.逃①作条件 因为 a =l ， 数列奇数项确定，但n+2 -a., =2, a, a2 米知 ， 故数列偶数项不
确定，因此数列｛“不确定，不能选①
选②作条件， S" =nαn+ , -n(n+l） ， 故S ＝， α -2 ， 则的 ＝2 3
当n三2时，S ＝川 (n-1)α －n，， (n-1）…….. 2分
。， n 1） － － 2 …….. 4分， ＝S11 -S,,_1 = na,.+, -( - 。， 2n，所以α a11 =川
又因为龟 － a, =2
对任意正整数，α， －＋， a,, =2 ， 所以｛α，， ｝是以l位首项，2为公差的等差数列，
。 ＝2n，， -l ……. 6分
选③作条件
an+I －饵，＝2 所以（α， ）是以 l 位首项， 2 为公差的等差数列， 3 分
又因为 a, =l, 所以 α，， ＝2n-l ……. 6分
(2）由(l）知，等差数列｛α，， ｝的通项公式α， ＝2n-l,
.. n .. 1 1
于是轧" ＝（－）＂ 一一一 ＝（－ 1 ）
” （一一一 ＋ 一一一 ）， ….. 8 分
a a 2n-1 2n+n n+I l
理科数学第2页（共5页〉
所以 写∞ ＝ 纠＋的＋句＋ +b100
l 1 1 l l 1 1
T, = -(1 +-)+ (-+-)-(-+-)+ ＋（一－＋一一 ）＝－一一
200
00 nJtM 分
圳 3 3 5 5 7 199 201 201
20.解： (l ）设椭困E的焦距为纭，则c = 1,e ＝三＝..！..，
。 。
，，
－tE－ a
z
－
句L
由时可得｜去寸 ＝ l ＆刷TE 得 、，，． z
．．｜ 2 、
． b － IAα = b2 + l
故E的标准方程为兰＋y2 = … 4分
(2）平行四边形 OAβC的丽积为定值主，理由如下：
由 (I ）可得： a=.fi.,b=I，则有：
当直线l的斜率不存在时，设 A(x,,y,),C（码，－y,),
若OABC 为平行四边形，则点8为长轴顶点， 不妨设s(Fi.o).
I1X. = -、E rI 且 －Fi－－ ’， ＝
可得｛： 2 解得｛ 2_
｜亏＋矿 ＝ I IIY,I ＝ 子
故平行四边形 OABC的面积S=2× l×Fi×主 ＝主： 6分2 2 2
当直线l的斜率存在时，设 I: y =k x+ m(mac 0), A(xl'y1), B （句 ， Y2),
ly=kx+m
联立方程｛二 消去y 得（1÷2k 2 )x2 +4伽＋2m2 -2 = 0 7分
1 －一＋ y =I l 2
灿＝ 16k2m2 -4(1+2k2 ）（户）＝8(2川巾。引咛古川＝在2
＝ 4k
2m
可得y】 ＋ Y 问÷m ＋ 问 ＋ m=k （引÷X ）÷2m＝－一一一 ＋2m＝一一一2 2 I +2k2 I +2k2
·: OA=(x,,y,),OC ＝（码，川，
若O础C为平行四边形，则OB=OA ＋ 荷＝（州川川） ＝（－旦L主乙1’l l+2k2 l+2k2 )
( 4km 2m飞
点Bl－ I （＿」生L2 了， 、，l、 ，l一 +一 2气k' 一l +一2 －－，，k' ，J
ff椭圆上，则1 1 牛 2k )
主－一
---L+(Il
m-----::-丫I =2 l+2k. J
整理可得4 2 2 －付, I＋纭，满足血 ＝岭k 旷＋ I) 2 = 24ni > 0 = ,
4 2 -
则几．＋儿＝－一一
km k ＝－一 儿几 ＝一m
I
‘ －－－，；－J ,+2k' tn I 2斤＇！＇
可得｜叫＝ 叫IιY-4×丘二！ ＝ Ji巨 10分I + 2k2 ) 2m2 2 I叫
理科数学第3页（共5页〉
m
点 O jlj直线l:kx-y+m=O 的距离 d ＝ 丁＝
l ＝l ？ l l分
、／］+k '
故平行囚 ；也形 OABC 的面积S-2×
I
－×IACI×d-－ 一../6 一.{i一古一？×」｜工叫」 ＝ 一../6
2 2 lml .Ji.刀T
综上所述：平行四边形 OABC 的面积为定值; 一－../6 ． …… 12分
2
21.解 函数f(x)=e -' ： +sni x-rru:的定义域为R, f'(x)=e -' +cosx-m,
因为函数f(x)=e＇ ÷sinx-mx的图象在点（0,/(0））处的叨线与直线y+l=O平行 ，
所以f’（创＝0 ， 故 e0 +cos0-m=2-m=O ， 解得 m=2, ……. 2分
’
所以f(x)=e:' +sinx－ 缸 ， 所以f 。）＝e'-2+cosx ..
当x孟0时 ， e':,; 1 ， 又cosx:,;1 ， 则e" +cosx 豆2,
故／（归0 ，所以J(x）在（剖，O］上单调递减． …… 3分
设 h(x) = f'(x)(x >0 ） 贝lj h’， （x)=e'-sinx,
当x>O时 ， e' >l注sinx, h'(x) >0 , h(x） 是增函数， LW /(x）在（O,+,x,）上单调递增 ，
所以 ’f （x) >/ '(0)= 0 ， 因此 J（均在（O,+,x,）上单调递增，
所以J（功的单调递增区间是（0， 叩），单调递减区间是（-oo,0). ……. 6分
ω不等式 f(x）－阳～ l注O可化为e·' -2x ÷sni x－αx2 -l兰0,
设g(x)= e'· -2x+sin x-ax2 -1,
自己知可得g(x）注。在（0,+
因为g ’（x)=e x -2+cosx-2剧 ， 令 q(x) =g’（x)= e x -2+cosx-2剧，
则q'(x)=e'-sni x-2a 令 s(x)=q ’， （x)= e :' -sni x － 钮，
则s’（x)=ex -cosx注1-cosx泣。 ，所以s(x) 11P q
’（x）在［0,+
q ’（x）注q'(O)=l-2a ， 当。三 1时 ’， q 。）注q'(O)=l-2α注0 ， ……. 82 分
函数q(x) LW g'(x）在（0,+
所以g'(x）订飞0)=0, g（，。在［0,+oo）上单调道梢，
所以g(x）注g(O)=0恒成立， 原不等式恒成立： …… 9分
当。＞ i时 ， 贝I] q'(O） 斗2a<0 ， 叉q'(ln
所以存在 ’λbε （0,ln(2α ＋2）） ， 使得q （x0 )=0,
。 ＜ x
0, （x）在（O ,x0 ）上单调递减，
x ＞ 与日中， q’ （x) ’>0 , q(x） 即8 （均在（袍， ＋∞）上单调递增 ， ……10分
又g'(O) =0，所以O
综上 ， 实数a的取值范围是1-00.-!-I …… 12分
l 21
（二）选考题： 共JO分．考生从22、23题中任选一题作答 ， 如果多做， 则按所做的第一题计分
理科数学第4页（共5页〉
x=l .J2 ＋－二－ t
22.解：2主线l的参数万程为 三 (t 为参数），
y=2 ＋孚 t
消去t得， 直线l的普通方程为x-y+l=O; … 2 分
由ρ2 ＝一 2 2 2l+s三in？" 得，ρ ＋ sin θ＝2, () ρ
将ρ2 2 =X + )'2，ρsinθ ＝ y代入衔 ，
曲线FU LHJ直角 坐 标 方 t在用 －管土为 ＋ VJ ＝ ’hJV 分
2
I.
.J2
X= ＋ －ι－ t
(2 ）将直线l 的参数方程 三代入曲线Cι y2 = 1, … 6分
L
y=2＋孚 f
整理得 23t +l叫2t+1 4 = 0, 公 = (10-./2)2 -4x3xl4 > 0, 7分
记 A,B 两点对应的参数分别为九乌，则 l'. ＋ι' ＝－一
JO二.l'l 3 三ι'' ＝
1一4 ， … 8分
3
故 L <0，乌＜0I ,
－－－1 ＋ 1 故 －－－ －_ －－－－－－－－I阳l
+IPBI －_ +－－－－－It, t2 I －_ －－一5-./2 10分
｜阳I IPBI IPAIIPBI I的I 7
23. 解：（ I) (1 ）由题知 lx-11三2 ::::> -2三x-1三2 :::> -1三x三3, … 4 分
原不等式的解祭｛xl-1三x三3} ． ． ． ． ． ． pkυ 、1 λ／
(2）由g(x) = f(x+l)+ f(x） 斗xl+lx+ll三lx-(x+E)l=l,
所以 g(x）最小值为l , 目p x+ y+z …= I 6分
l +-x+y =-x+y+z +-x+y=!, +-z +-x+y
x+ y z x+y z x+y z
主1+2.／＿：.＿.兰主 ＝3 当且仅当＿＿＿：.＿＿＿＝兰主 时取等号
vx+) z ， x+y z
所以 1 x+y 一一U ＝－＋ 的妓小值为3，此时 x+y=z= 10
x+y 分z 2
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