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2022-2023学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
2. 在空间四边形中，点，分别是和的中点，则( )
A. B. C. D.
3. 设随机变量，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 直线截圆所得的弦长为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5. 将甲，乙等名志愿者全部分派到个核酸采样点协助工作每个采样点至少人，其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 与圆相切，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
7. 如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
9. 已知点，，，则平面的方程为( )
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线仅有一个公共点，则( )
A. B. C. D.
11. 若，则( )
A. B. C. D.
12. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，若在直线上存在一点，使是等边三角形，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数 ．
14. 若展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为 用数字作答
15. 如图，已知四棱柱的底面是边长为的正方形，且，，则 ．
16. 已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，是该双曲线上的一点，且是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某车间生产一批零件，现从中随机抽取个，测量其内径的数据如下单位：：，，，，，，，，，设这个数据的均值为，标准差为．
求和；
已知这批零件的内径单位：服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了个零件，测量其内径单位：分别为：，，，，，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若，则：，，，．
18. 本小题分
已知四个点：，，，．
从，，，四点中选个点确定一个三角形，求出该三角形的外接圆的方程；
过点作直线交圆于，两点，若，求直线的方程．
19. 本小题分
已知点到点的距离比它到直线的距离大．
求点的轨迹的方程；
点为轨迹上任意一点，过点作圆：的切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值．
20. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，．
证明：；
若，求二面角的平面角的大小．
21. 本小题分
本次数学考试中共有个选择题，每小题分，共分，在每小题给出的，，，四个选项中，只有一项是符合题目要求的本次考试的个选择题中，甲同学会其中的个，另外个题只能随意猜；乙同学会其中的个，其它个题中有个题各能排除个错误选项，另外个题能排除个错误选项．
设甲同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；
设乙同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；
求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率．
22. 本小题分
已知椭圆：的离心率，且短轴长为．
求椭圆的标准方程；
已知点为椭圆的左焦点，斜率存在的直线与椭圆交于，两点，若直线上任意一点到直线和的距离始终相等．
试证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；
求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与直线垂直的直线的斜率，
所求的直线方程为，即为，
故选：．
利用两直线互相垂直斜率的关系及点斜式即可求解．
本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
故．
故选：．
根据向量加法的三角形法则即可求解．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：随机变量，
，解得，
，．
故选：．
根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于的方程，解出的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．
本题考查二项分布的概率与方差，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，
半径，
因为直线截圆所得的弦长为，
所以直线经过圆的圆心，
所以，解得．
故选：．
根据弦长等于直径确定直线过圆心即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，
情况一：甲，乙单独作为一组，剩余人分成组，
则有种方案；
情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他人作为组，
则有种方案；
情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他人作为组，
则有种方案，
所以总共的方案为：种．
故选：．
先分成四组，再排列即可求解．
本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆，圆心坐标为，半径为，
满足题意的直线方程斜率可以为，设直线方程为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，
此时满足条件的直线有两条：和；
满足题意的直线可以过原点时，直线倾斜角为时显然不与圆相切，
设直线方程为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，即，解得或，其中时，
直线为轴，不合题意，故此时满足条件的直线有一条：；
综上所述：满足条件的直线有三条．
故选：．
在两坐标轴上的截距互为相反数的直线，斜率为或直线过原点，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
所以，
不妨令，则，，
所以，
所以，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为，
故选：．
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设平面的法向量，则，解得，，，进而可得的坐标，则直线与平面所成的角的正弦值为，，即可得出答案．
本题考查线面所成的角，解题中需要理清思路，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，
将剩余三人排成一列有种排法，产生个空位，
让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法，
其中甲排在乙的前面的有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的概率为．
故选：．
利用插空法，结合古典概率模型求解即可．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设平面的方程为，，，不同时为，
代入，，三点的坐标，得，解得，，，
所以平面的方程为．
故选：．
设平面的方程为，代入，，三点的坐标求系数即可．
本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由已知得，左焦点的坐标为，
过的直线与双曲线仅有一个公共点，
该直线与双曲线的渐近线或平行，
不妨设该直线方程为，
将直线与双曲线联立，
解得，即，
，
又，，
故选：．
利用已知条件求出过且与双曲线仅有一个交点的直线方程，将该直线与双曲线联立求得点的坐标，最后利用双曲线的定义求出即可．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：令，则，即，
再令，可得，
所以．
故选：．
根据二项展开式，令，求出，再令即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，，
，，的中点为，
联立，可得，
，，
，
，
要使是等边三角形，则且，
，
，，
将式代入式整理，可得，
，
，，
直线的斜率为，
故选：．
设直线的方程为，，的中点为，结合题意，可得且，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：随机变量，
正态曲线关于对称，且，
由，可知，解得．
故答案为：．
由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于对称，且，结合题意得到的值．
本题考查正态曲线的性质，方程思想，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为二项式系数和为，解得，
又，
令，则常数项为．
故答案为：．
根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设 ，，，则 ，
底面是边长为的正方形，且，，
则有，，，，，，
则 ，
所以．
故答案为：．
记，，，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算即可．
本题考查向量法求解两点间距离问题，向量的线性运算，向量数量积的性质，属中档题．
16.【答案】或
【解析】解：设双曲线的右焦点为，
当时，如图，连接，
为等腰直角三角形，所以，，
所以，，
则双曲线的离心率为．
当时，如图，连接，
又为等腰直角三角形，所以，，
在中，，由余弦定理得，
所以，，
双曲线的离心率为 ．
故答案为：或．
双曲线的右焦点为，由已知条件计算，，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，，
故；
由题意得：，，即，
所以五个零件的内径中恰有个不在的概率为，
又试产的个零件中内径出现了个不在内，
所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试．
【解析】利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；
计算出五个零件的内径中恰有个不在的概率约为，而又试产的个零件中内径出现了个不在内，根据原则，得到结论．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
18.【答案】解：设所求圆方程为，
选A，，，
则有，解得，
所以所求圆方程为；
选A，，，
则有，解得，
所以所求圆方程为；
选A，，，
则有，解得，
所以所求圆方程为；
选B，，，
则有，解得，
所以所求圆方程为．
由可知圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，
因为解得，
若直线的斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为满足题意；
若直线的斜率存在，则设方程为，
即，
因为圆心到直线的距离解得，
所以直线的方程为即．
综上直线的方程为或．
【解析】利用圆的一般方程，待定系数法求解；
根据弦长公式求出直线的距离为，再根据点到直线距离公式求解．
本题考查圆的的方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属中档题．
19.【答案】解：设为曲线上任意一点，
因为点到点的距离比它到直线的距离大．
所以，
当时，化简可得，
当时，化简可得，又，矛盾，
所以点的轨迹的方程为；
由圆：可得，半径为，
设点的坐标为，，
则，
所以当时，取最小值，又
所以当时，取最小值，
又四边形面积，
所以，当且仅当点的坐标为或时等号成立，
所以四边形面积的最小值为．
【解析】设点，由条件公式列等式化简可得轨迹方程；
求的最小值，由此可求四边形面积的最小值．
本题主要考查了动点的轨迹方程，考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
20.【答案】解：证明：，，
又平面，，面，
，，
故以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系如图，
，，，，，设，
则，
，
，；
由知，
平面的法向量取，，
设平面的法向量，
则，即，取，
，由图易得此二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的大小为．
【解析】为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得到相关向量，计算即可；
求出平面的法向量，求出平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可得到二面角大小．
本题考查向量法证明存在问题，向量法求解二面角问题，属中档题．
21.【答案】解：甲有题不会，每题猜对的概率为，猜错的概率为，
由题意可知，所有可能的值为，，，
，
，
，
故的分布列为：
故E；
乙同学会其中的个，其它个题中有个题各能排除个错误选项，不妨设为题，每题猜对的概率为，猜错的概率为，
另外个题能排除个错误选项，不妨设为题，猜对的概率为，猜错的概率为，
由题意可知，所有可能取值为，，，，
，即乙不会的题均猜错，
，
，即乙不会的题中题猜对，题猜错，
若猜对题，概率为，
若猜对题，概率为，
故，
，即乙不会的题中题猜对，题猜错，
若猜对道题，则概率为，
若猜对道题，道题，则概率为，
故，
，即乙不会的题均猜对，
，
故的分布列为：
故E；
甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率．
【解析】由题意可知，所有可能的值为，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；
由题意可知，所有可能的值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；
根据已知条件，结合的分布列，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题知，解得，，
故椭圆的标准方程为：；
：证明：设直线的方程为，代入 整理得：
，设，，
则，，左焦点，
若直线上任意一点到直线和的距离始终相等，直线和关于直线对称，
有，则，
即，，
故，
即 ，则，
故直线过定点，该定点的坐标为．
：由得，，，
又，
到的距离，故，
设 当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为 ．
【解析】由椭圆离心率和短轴长，列方程组解出，，可得椭圆的标准方程；
设直线的方程，代入椭圆方程，利用已知条件结合韦达定理，求解直线所过定点的坐标；
求弦长和点到直线距离，把的面积表示出来，通过换元和基本不等式，求解面积的最大值．
本题考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，基本不等式的应用，属中档题．
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