高中试卷答案网人教A版（2019）选择性必修第三册 6.3二项式定理 同步练习
一、单选题
1．在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．在的展开式中.常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
6．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
7．在的展开式中，的系数是（ ）
A．20 B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为，则等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461
10．设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
11．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
12．的展开式中的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
二、填空题
13．若的展开式中常数项为________.
14．已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为______．
15．的展开式中的系数是______（用数字作答）．
16．的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为______．
三、解答题
17．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；
（1）a0；
（2）a1＋a3＋a5＋…＋a99；
（3）(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
18．设.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
19．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
20．在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
21．已知，，其中.
(1)求的值；
(2)设（其中、为正整数），求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A根据组合数的性质可求的值.
【详解】由已知得，可知，
故选：A.
2．D设，令解方程得解.
【详解】解：设，
令得，
解得．
故选：D
3．C先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【详解】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选：C．
4．B首先写出二项式展开式的通项，再令，求出，最后代入计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以
故选：B
5．C求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
6．A本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
7．D根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案.
【详解】，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题.
8．A由，再利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【详解】由
，
则.
故选：A.
关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键．
9．C根据二项式系数规律，结合组合数的性质，利用分组求和法即可求.
【详解】由题图知，数列中的首项是，第2项是，第3项是，第4项是，……，第15项是，第16项是．
∴
．
故选：C．
10．B利用赋值法可求得，继而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.
【详解】因为，所以当时，可得；
当时，可得．
又，所以，得，
所以的展开式中系数最大的项为第4项，即,
故选：B
11．D根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
12．D的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.
13．28求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为.
故答案为：28.
14．64由题意，列出不等式组，可解得，利用赋值法求系数和，即得解
【详解】由题意知，则，
解得，又，因此，
则令，可得的系数和为．
故答案为：64
15．-4480，把三项式转化成二项式，利用二项式定理求解.
【详解】解：，
其展开式的通项为，令，则，
的通项为，
令的系数为.
所以的展开式中的系数是.
故答案为：-4480
16．3设，然后分别令，，可求出，再结合已知条件可求出答案
【详解】设，
令，得，①
令，得，②
②①，得，
又因为，，
所以，解得．
故答案为：3
17．（1）2100；（2）；（3）1.（1）令x＝0可得答案；
（2）令x＝1和x＝－1，两式相加可得答案；
（3）利用平方差公式，再将（2）中的①②两式代入计算即可.
【详解】解：（1）令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.
（2）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②
联立①②得：a1＋a3＋…＋a99
＝.
（3）原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝(2－)100(2＋)100＝1.
18．（1）1；（2）；（3）.（1）令可得所求的值；
（2）再令，结合（1）可得所求的值.
（3）根据通项公式可判断出项的系数的正负，利用（2）中的结果可得所求的值.
【详解】（1）令，得，
故.
（2）令，得，
故即.
（3）∵，
故当为偶数时，，为奇数时，，
故.
19．（1）n=10；（2）；（3）6项．（1）写出二项展开式的通项，根据第九项为常数项求出n的值；
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，即可得解；
（3）要使2n-k，即为整数，得出k的取值.
【详解】二项展开式的通项Tk+1==(-1)k．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10．
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，
所以x5的系数为(-1)6．
（3）要使2n-k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
20．（1）264（2）或.（1）写出二项展开式的通项公式，当的指数是时，可得到关于方程，解方程可得的值，从而可得展开式中含项的系数；
（2）根据上一问写出的通项公式，利用第项和第项的二项式系数相等，可得到一个关于的方程，解方程即可得结果.
【详解】(1)设第项为，
令解得，
故展开式中含项的系数为.
(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
∵ ，故或，
解得或.
21．(1)；
(2).
（1），，写出的展开式通项，由可得出关于的方程，解出的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；
（2）写出的展开式，求出、的值，即可求得的值.
(1)
解：设，，
的展开式通项为，
所以，，即，，解得，
所以，
.
(2)
解：
，
，，因此，.
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