高中试卷答案网2022-2023学年度第二学期北京市各区高三一模试题汇编
《圆锥曲线》
双曲线
1、（海淀一模）已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．
2、（西城一模）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、（朝阳一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 或2
4、（东城一模）已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为_______．
5、（丰台一模）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．
①双曲线H的离心率为________；
②若，，CE交AB于点P，则________．
6、（石景山一模）已知双曲线的离心率是2，则（ ）
A．12 B． C． D．
7、（顺义一模）若双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、（平谷一模）已知双曲线的离心率为2，则实数____________．
9、（房山一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为__________.
10、（2022年北京高考）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
抛物线
1、（海淀一模）已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2、（西城一模）已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．
3、（朝阳一模）经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．
4、（东城一模）抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5、（丰台一模）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
（石景山一模）抛物线：的焦点坐标为_________，若抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为_________.
7、（房山一模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
8、（石景山一模）已知正方体的棱长为2，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点总满足，则动点的轨迹是一条直线；
②若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；
③若点到直线的距离与到点的距离之和为2，则动点的轨迹是椭圆.
其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
椭圆
1、（2022北京高考）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
2、（海淀一模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为、直线与y轴交于点Q．若的面积为2，求k的值．
3、（西城一模）已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点．
（1）当直线与轴垂直时，求直线的方程；
（2）求的取值范围．
4、（朝阳一模）已知椭圆经过点．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
5、（东城一模）已知椭圆E：的一个顶点为，离心率.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.设椭圆的左顶点为D，求的值.
6、（丰台一模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．
7、（平谷一模）已知椭圆经过两点，设过点的直线椭圆交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．
(1)求椭圆E的方程：
(2)证明：直线HN过定点．
8、（房山一模）已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.
9、（石景山一模）已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
10、（顺义一模）已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值．
2022-2023学年度第二学期北京市各区高三一模试题汇编
《圆锥曲线》参考答案
双曲线
1、由题意，得e＝＝＝＝2.
2、若双曲线的离心率为，则，
所以，若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；
若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为；
所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的充分条件；
反之，双曲线的一条渐近线为，
若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，
离心率；
若双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为，所以，
离心率；所以“的离心率为”不是“的一条渐近线为”的必要条件；
综上：“的离心率为”是“的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
3、解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B
4、取直线为双曲线的渐近线，则，
双曲线的一个焦点是，故，
故，故双曲线方程为.
故答案为：
5、①由题可得所以，
所以双曲线H的离心率为；
②，因为，且，
所以
又因为，所以
所以，
所以,
因为,解得，
所以,
故答案为:2; .
6、由题意可得，
解得，
故选：B.
7、，
由于，所以，
所以，
故选：C
8、由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，则，
所以，解得：.
故答案为：.
9、双曲线的渐近线方程为,
所以，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：2.
10、解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
抛物线
1、抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，
所以等于点到直线的距离，
所以，
故选：D.
2、设，则,即，
所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称，
由得,将代入抛物线中得所以，
故答案为：1
3、由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，
联立方程，消去x可得，，
韦达定理得，
因为，所以，即，
所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，
所以.
故答案为：
4、由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，
故选：D.
5、如图示：
过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.
因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，.
所以.
又，
所以，所以，
所以.
所以.
由抛物线的定义可得：.
在直角三角形中，,.
由勾股定理可得：，解得：.
故选：C
6、抛物线：中，所以的焦点坐标为；
由抛物线的定义可得.
故答案为：；.
7、抛物线的准线为，
由题意，设，，，，
则点P到原点的距离为，
故选：D
8、对于①，如图在正方体中，连接，
在正方体中，因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面平面，平面，点总满足，
所以平面，所以，则动点的轨迹是一条直线，故①正确；
对于②，平面,平面，则点到直线等于到的距离，
又到平面的距离等于到的距离，
则到的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线，故②正确；
对于③，点到直线的距离等于到的距离，所以到的距离与到点的距离之和为2，即，则点的轨迹为线段，故③不正确.
所以正确的命题个数是2.
故选：C.
椭圆
1、（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
2、（1）由，得，即，
由四边形的周长为，得，即，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线l的方程为（，），，，
则，，
联立方程组，消去y得，，
，得，
，，
直线的方程为，
令，得，
又因为，
所以，的面积，得，经检验符合题意，
所以k的值为.
3、（1）当直线与轴垂直时，设其方程为．
由点关于轴对称，且，由勾股定理可知不妨设，
将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得．
所以直线的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知．
当直线的斜率存在时，设其方程为．
由 得．
由，得．
设，，则，．
因为，所以．
所以．
整理得．
所以．
解得，从而．
设，其中．
则．
将代入椭圆的方程，得．
所以，即．
因为，所以，即．
综上的取值范围是．
4、（1）因为椭圆经过点，
所以，解得，
所以椭圆E的方程为，
因为所以，
所以离心率为.
（2）直线过定点，理由如下：
由可得，
显然，
设则有
直线的方程为
令，解得，则，
所以直线的斜率为且，
所以直线的方程为
令，则
所以直线过定点.
5、（1）由题意可知，，所以，
则所求椭圆的方程为.
（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
因为点，则点为线段的中点，
所以.
6、（1）根据已知可得，
所以，
所以椭圆E的方程为.
（2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧，
设直线的方程为，，不妨设，
则
由得
所以
因为，
所以
，
，
要使，，总成等比数列，则应有解得，
所以存在，使得，，总成等比数列.
7、（1）解：因为椭圆E的方程为经过两点，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2）因为，所以，
①假设过点的直线过原点，则，代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②分析知过点的直线斜率一定存在，设.
联立得，
可得，
所以，
，
且
因为点H满足，所以为的中点，
联立可得
可求得此时，
假设直线HN过定点，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点.
8、（1）因为椭圆过点，所以，
又，，所以，得到，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，
，
化简整理得
因为直线与垂直，所以直线的方程为，
联立得，解得， ，
所以
把代入上式得，，所以，为定值；
当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
综上所述，，为定值.
9、（1）椭圆:过点，且离心率为
所以，解得，所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，则直线：，代入椭圆方程得，
所以；直线：，代入椭圆方程得，所以，
所以；
当直线的斜率不存在时，同理可得；
当直线,的斜率均存在，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，
则，消去得，
恒成立，所以，
所以
；
同理可得，将换成可得
所以，
综上所述，的取值范围是.
10、（1）由题意，可得，解得，，，
所以椭圆为.
（2）证明：把代入椭圆方程，
得，
所以，即，
设，，则，，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以点坐标为.
又因为点在椭圆上，
所以，即.
因为，
即.
又点到直线的距离，
所以平行四边形的面积
，
即平行四边形的面积为定值.
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