高中试卷答案网第七章 万有引力与宇宙航行 期中考试热身卷
本试卷共4页，15小题，满分100分，考试用时75分钟。
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 年月日，我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（图甲），月日时分，“天问一号”探测器实施近火捕获，顺利进入近火点。图乙为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道，、、三点与火星中心在同一直线上，下列说法正确的是( )
A. 探测器在点由轨道进入轨道Ⅱ需要点火加速
B. 探测器在轨道Ⅲ上点的速度大于在轨道Ⅱ上点的速度
C. 探测器在轨道Ⅱ上运行时，在相等时间内与火星连线扫过的面积与在轨道Ⅲ上相等
D. 探测器在轨道Ⅱ上由点运动到点的时间小于探测器在轨道Ⅲ上由点运动到点的时间
2. 年月日是第五个“中国航天日”，备受关注的中国首次火星探测的任务名称、任务标识在“中国航天日”启动仪式上公布。中国行星探测任务被命名为“天问”系列，首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星的质量和半径分别为地球的和，地球表面的重力加速度为，火星的公转半径大于地球的公转半径，下列有关说法正确的是( )
A. 从地球上发射卫星探测火星，发射速度要大于
B. 地球的公转速度、公转周期均小于火星的
C. 火星表面的重力加速度约为
D. 火星的第一宇宙速度为地球的
3. 如图所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的倍，质量为火星的倍。不考虑行星自转的影响，则( )
A. 金星表面的重力加速度是火星的倍
B. 金星的“第一宇宙速度”是火星的倍
C. 金星绕太阳运动的加速度比火星小
D. 金星绕太阳运动的周期比火星大
4. 如图所示，飞行器绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，下列说法正确的是( )
A. 轨道半径越大，周期越短
B. 轨道半径越大，速度越大
C. 若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D. 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
5. 如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在拉格朗日点（如图所示）的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。不考虑航天器对“地月双星系统”的影响，不考虑其它天体对该系统的影响。已知：地球质量为，月球质量为，地球与月球球心距离为。则下列说法正确的是( )
A. 位于拉格朗日点的绕点稳定运行的航天器，其向心加速度小于月球的向心加速度
B. 地月双星系统的周期为
C. 圆心点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比
D. 拉格朗日点距月球球心的距离满足关系式
6. 已知某半径为的质量分布均匀的天体，测得它的一个卫星的圆轨道的半径为，卫星运行的周期为。假设在该天体表面沿竖直方向以初速度向上抛出一个物体，不计阻力，求该物体可以到达的最大高度为( )
A. B. C. D.
7. 年月日时分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第、颗北斗导航卫星。火箭将两颗卫星送入同一个轨道上的不同位置，如图所示。如果这两颗卫星与地心连线的夹角为（弧度），在轨运行的加速度大小均为，均沿顺时针方向做圆周运动。已知地球的半径为，地球表面的重力加速度为，则第颗北斗卫星从图示位置运动到第颗北斗卫星图示位置所用的时间为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8. 年月日我国成功发射第颗北斗导航卫星，标志着北斗三号系统颗地球同步轨道卫星全部发射完毕。人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则( )
A. 卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于
B. 卫星在轨道稳定运行时，经过点时的速率比过点时小
C. 若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为、、，则
D. 现欲将卫星由轨道Ⅱ变轨进入轨道Ⅲ，则需在点通过点火减速来实现
9. 年月日时分，我国自行研制的探月工程三期载人返回飞行试验器，在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭发射升空，我国探月工程首次实施的载人返回飞行试验首战告捷。假设月球是一个质量为，半径为的均匀球体。万有引力常数为，下列说法错误的是( )
A. 在月球上发射一颗环绕其表面运行的卫星，它的最小周期为
B. 在月球上发射一颗环绕其表面运行的卫星，它的最大运行速度为
C. 在月球上以初速度竖直上抛一个物体，物体落回到抛出点所用时间为
D. 在月球上以初速度竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为
10. 在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由、两颗恒星组成的双星系统，，绕连线上一点做圆周运动，测得，两颗恒星间的距离为，恒星的周期为，其中一颗恒星做圆周运动的向心加速度是另一颗恒星的倍，则( )
A. 恒星的周期为
B. 恒星的向心加速度是恒星的倍
C. A、两颗恒星质量之比为
D. A、两颗恒星质量之和为
三、实验题：本题共2小题，每空2分，共8分。
11. 如图，远离其它天体的两颗星、可视为质点，它们之间的距离为，、围绕连线上一固定点做匀速圆周运动，测得运动的角速度为，已知引力常量为，求它们总质量_________。
12. 在年的一天，张明驾驶一艘宇宙飞船飞到一个未知星球上空．他先让飞船在此星球表面附近的低轨道上绕该星球做匀速圆周运动，从速度表上读出飞船速度为他又用秒表测定飞船绕行一周的时间为由此可以测定该星球半径为______________；该星球的平均密度为______________；已知万有引力常量为，忽略星球的自转，该星球表面重力加速度为______________．
四、计算题：本题共3小题，13题14分，14题14分，15题18分，共46分。
13. 中国赴南极考察船“雪龙号”，从上海港口出发，一路向南，经赤道到达南极．某同学设想，在考察船“雪龙号”上做一些简单的实验，来测算地球的平均密度：当“雪龙号”停泊在赤道时，用弹簧测力计测量一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数，当“雪龙号”到达南极后，仍用弹簧测力计测量同一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数设地球自转的周期为，万有引力常量为，圆周率为已知，不考虑地球两极与赤道半径差异．试求：
地球的平均密度；
若人造卫星绕地球做圆周运动的最大速度为，则地球的半径多大．
14. 我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量的星体和质量的星体构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点做匀速圆周运动。到点距离为，已知引力常量为，求：
星体到点的距离
双星和的运行周期。
15. 半径为、密度为的球内部有半径为）的球形空腔，空腔中心位于离球心处（如图）。质量为的质点离球心距离为，如果三角形是直角三角形：
为直角时，求该质点被多大力吸向球；
为直角时，求该质点被多大力吸向球。
答案解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 。
12. ；； 。
13. 解：设地球半径为、质量为、体积为、平均密度为
钩码在赤道地区 ， 钩码在南极地区有 ，
又因为，
解得；
当卫星贴近地表运行时线速度最大，则由万有引力提供向心力，
解得．
14. 解：双星的向心力由它们之间的万有引力提供，周期相等，有：，
可知质量之比跟各自的轨道半径成反比，所以有：；
对于星，，
对于星，，
由以上各式可得周期为：。
15. 解：如图：
半径为的大球对质点提供的是吸引力，吸引力，
半径为的小球对质点提供的是排斥力，排斥力，
为空腔中心到质点的距离，
分两种情况研究：
当为直角时，，，
根据余弦定理，质点所受的吸引力：
；
当为直角时，，
同理可得：。
【解析】
1. 【分析】
本题考查卫星的变轨、卫星的运行规律及开普勒第二和第三定律。卫星轨道由圆和椭圆切换时，注意判断是近心运动还是离心运动，从而决定是加速还是减速；开普勒第二定律强调的是同一个椭圆轨道，第三定律强调的是同一个中心天体。
【解答】
A.探测器由轨道进入轨道做的是近心运动，需点火减速，使万有引力大于所需的向心力，故A错误；
B.根据万有引力提供向心力，有解得线速度，可知在轨道上点对应圆轨道的速度小于近火星点处圆轨道上的速度，而在轨道上点的速度小于该处对应圆轨道上的速度，所以探测器在轨道上点的速度小于轨道上点的速度，故B正确；
C.开普勒第二定律描述的是卫星在一个轨道上相等的时间连线扫过的面积相等，探测器在轨道和轨道属于两不同的轨道，故C错误；
D.因轨道的半长轴大于轨道的半径，根据开普勒第三定律，知轨道的周期大于轨道的周期，而探测器在轨道上由点运动到点的时间和探测器在轨道上由点运动到点的时间都是各自周期的一半，故探测器在轨道上由点运动到点的时间大于探测器在轨道上由点运动到点的时间，故D错误。
故选B。
2. 【分析】
根据宇宙速度的定义进行分析；对火星与地球绕太阳运动时，由万有引力提供向心力列式，得出线速度、周期的表达式，由公转半径的大小关系即可进行比较；根据万有引力与重力的关系进行分析；根据第一宇宙速度的物理意义进行分析。
明白三种宇宙速度的物理意义、掌握万有引力与重力的关系，对于天体做圆周运动问题的分析，要掌握一般性的思路：万有引力提供向心力。
【解答】
A.从地球上发射卫星探测火星，卫星脱离地球，但仍在太阳系之内，所以发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A错误；
B.对火星与地球绕太阳运动时，由万有引力提供向心力，则有：，得：，，由于火星的公转半径大于地球的公转半径，由可知地球的公转速度大于火星的公转速度，地球的公转周期小于火星的公转周期，故B错误；
C.不计地球自转时，地球上质量为的物体所受万有引力等于重力，有：，得：，同理可得火星表面的重力加速度为，故C正确；
D.第一宇宙速度是最大的运行速度，设地球的第一宇宙速度为，由牛顿第二定律有：，可得：，同理可得火星的第一宇宙速度为：，故D错误。
故选C。
3. 【分析】
根据重力等于万有引力列式，求金星表面的重力加速度。根据卫星的速度公式求金星的“第一宇宙速度”。根据分析加速度的关系，根据开普勒第三定律分析周期关系。
解决本题的关键是要掌握万有引力提供向心力，知道卫星的线速度、加速度等公式，并能用来比较两个天体各个量之间的大小。
【解答】
解：、根据得，可知金星与火星表面重力加速度之比故A错误。
B、根据 可知，金星与火星第一宇宙速度之比，故B正确；
C、根据 可知，距离太阳越远，加速度越小，金星距离地球近，则金星绕太阳运动的加速度比火星大，故C错误。
D、根据开普勒第三定律，可知距离太阳越远，周期越长，金星距离太阳近，所以金星绕太阳运动的周期比火星短，故D错误。
故选：。
4. 【分析】
本题考查开普勒第三定律，万有引力定律。解题的关键是掌握开普勒定律和万有引力等于向心力这一基本思路，结合几何知识进行解题。
根据开普勒第三定律，分析周期与轨道半径的关系；飞行器绕某星球做匀速圆周运动，由星球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和几何知识、密度公式可求解星球的平均密度。
【解答】
A.根据开普勒第三定律，可知轨道半径越大，飞行器的周期越长，故A错误；
B.根据卫星的速度公式，可知轨道半径越大，速度越小，故B错误；
C.设星球的质量为，半径为，平均密度为，张角为，飞行器的质量为，轨道半径为，周期为，对于飞行器，根据万有引力提供向心力得：，由几何关系有：，由以上知测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故C正确；
D.由，可得：，可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但星球的半径未知，不能求出星球的平均密度，故D错误。
故选C。
5. 【分析】
位于拉格朗日点的绕点稳定运行的航天器与月球的周期相同，根据可比较其向心加速度大小；
根据万有引力提供向心力，对地球和月球列式，且有，可以解得周期和地球和月球球心的距离之比；
航天器在月球和地球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心点做圆周运动的向心力，列式即可求解。
本题考查万有引力的应用，题目较为新颖，在解题时要注意分析向心力的来源及题目中隐含的条件。
【解答】
A.位于拉格朗日点的绕点稳定运行的航天器的周期与地球的周期相同，根据可知，离点越远加速度越大，故A错误；
B.地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心点图中未画出做周期相同的圆周运动。
设月球半径为，地球半径为，根据万有引力提供向心力，对月球，对地球，
两式相加，因为，所以，故B错误；
C.由和可得：，即圆心点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量的反比，故C错误；
D.根据和可得，月球距离圆心点距离为：，航天器在月球和地球引力的共同作用下可以绕“月地双星系统”的圆心点做周期相同的圆周运动，设航天器的质量为，则：，即：，故D正确。
故选D。
6. 【分析】
结合万有引力等于重力和万有引力提供向心力求出该星表面的重力加速度．根据竖直上抛运动的位移公式即可求出．
该题考查万有引力定律的一般应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．
【解答】
由万有引力提供向心力得：，，所以
在该天体表面沿竖直方向以初速度向上抛出一个物体，不计阻力，物体上升的过程中的机械能守恒，得：
它可以到达的最大高度是：
故选：
7. 【分析】
由万有引力提供向心力，结合地球表面的重力等于万有引力即可正确解答。
解答该题的关键是正确使用万有引力提供向心力的公式，表达出各个物理量的表达式，然后依据表达式判断。
【解答】
根据题意卫星运动的加速为，则：
在地球表面时：
则第颗北斗卫星从图示位置运动到第颗北斗卫星图示位置所用的时间为：
解得：，故B正确，ACD错误
故选B。
8. 【分析】
本题考查了卫星变轨问题，分析时的关键是利用开普勒行星运动定律以及万有引力提供向心力。
根据开普勒第三定律比较运行的周期大小关系；根据变轨的速度变化情况分析速度大小；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是。
【解答】
A.环绕地球的卫星最大的运行速度是，同步轨道的半径大于地球半径，所以卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于，故A正确。
B.由开普勒第二定律可知，卫星在近地点速度大，远地点速度小，所以卫星在轨道稳定运行时，经过点时的速率比过点时大，故B错误。
B.由开普勒第三定律，由于，因此，故C正确。
D.卫星在点通过加速，使卫星做离心运动，才能使卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ，故D错误。
故选AC。
9. 【分析】
物体在月球表面时，万有引力等于重力，列式求出月球表面的重力加速度；
由万有引力提供向心力表示出线速度和周期进行求解；
根据竖直上抛运动公式求解物体上升的最大高度和时间。
本题是竖直上抛运动公式和万有引力的综合应用，它们之间联系的纽带是重力加速度，要比较一个物理量大小，我们可以把这个物理量先表示出来，再进行比较，是一道好题。
【解答】
A.在月球上发射一颗环绕其表面运行的卫星，根据万有引力提供向心力得：，它的最小周期为：，故A正确；
B.第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度，根据万有引力提供向心力得：，得：，故B错误；
C.忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：，解得：，在月球上以初速度竖直上抛一个物体，物体落回到抛出点所用时间：，故C错误；
D.物体上升的最大高度：，故D错误。
本题选错误的，故选BCD。
10. 【分析】
双星系统是指由两颗恒星组成，两颗恒星各自在轨道上环绕着共同质量中心的恒星系统。双星线速度的比值是各自到运动轨道中心半径之比、角速度、周期都相等。
【解答】
A、两恒星的周期相同，项错误；
B、由可知，做圆周运动的半径越大，向心加速度越大，因此项正确；
C、由此得到做圆周运动的半径是做圆周运动半径的倍，由，得到、两颗恒星质量之比为，项正确；
D、由，得，同理得，因此得，项正确。
故选BCD
11. 【分析】
双星系统构成的条件是双星的角速度相同，依靠它们之间的万有引力提供各自的向心力列式进行求解。
对于天体运动问题关键要建立物理模型，要注意双星问题与人造地球卫星的运动模型不同，双星都绕着它们之间连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，双星、圆心始终“三点”一线。
【解答】
设、的质量分别为、，、的圆轨道半径分别为、，则根据洛伦兹力提供向心力可知：
联立解得：。
故填：。
12. 【分析】
根据万有引力提供向心力建立方程，再结合万有引力等于重力联立求出星球质量和半径，再由密度公式求密度。
【解答】
设星球的质量，飞船质量，星球半径，根据万有引力提供向心力得
又万有引力等于重力得，，由以上各式联立求得：，，。
故答案是：；；。
13. 解决该题关键要知道重力和万有引力的区别，一般情况下我们可以近似认为物体的重力大小等于万有引力的大小。
在赤道上万有引力完全等于向心力，在赤道上，万有引力等于重力和地球自转所需的向心力之和，结合密度公式求解；
绕地卫星轨道半径越小，线速度越大，故可知卫星贴近地表时线速度最大，根据万有引力提供向心力求解。
解：设地球半径为、质量为、体积为、平均密度为
钩码在赤道地区 ， 钩码在南极地区有 ，
又因为，
解得；
当卫星贴近地表运行时线速度最大，则由万有引力提供向心力，
解得．
14. 双星靠相互间的万有引力提供向心力，周期相等。根据，求出质量之比跟各自的轨道半径成反比，根据周期公式求解周期即可。
解决本题的关键知道双星系统的特点，结合万有引力提供向心力进行求解。
解：双星的向心力由它们之间的万有引力提供，周期相等，有：，
可知质量之比跟各自的轨道半径成反比，所以有：；
对于星，，
对于星，，
由以上各式可得周期为：。
15. 本题考查了万有引力的计算。
带有空腔的球对称性被破坏，故难以直接运用万有引力定律求出对质点的作用力，须通过等效变换：将该球转化为若干个具有对称性的球；设想空腔部分是由密度为和的两个小球复合而成，于是原球便被密度为、半径为的大球与位于空腔部分的密度为、半径为的小球替代，半径为的大球对质点提供的是吸引力，半径为的小球对质点提供的是排斥力，再根据几何关系和万有引力定律解答。
解：如图：
半径为的大球对质点提供的是吸引力，吸引力，
半径为的小球对质点提供的是排斥力，排斥力，
为空腔中心到质点的距离，
分两种情况研究：
当为直角时，，，
根据余弦定理，质点所受的吸引力：
；
当为直角时，，
同理可得：。
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